Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Для того чтобы выяснить возможность описания про-
Q
О
Рс
-Тг
Рис. 6.11 Рис. 6.12
цесса в рассматриваемой вырожденной динамической системе с помощью уравнения (6.19), рассмотрим схему, представленную на рис. 6.14, в которой малые параметры
(индуктивность контура и инерционность газового разряда) учтены малой индуктивностью L. '
Уравнения, описывающие динамическую систему, в этом случае будут
du Е — и . т di
§ 2] УТОЧНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ 223
где вид функции i = ср (и) или v = ф (г) представлен на рис. 6.15. Таким образом, уравнения (6.20) можно записать в виде
„ du Е — и . „ , ..
C~dt ~ R-----------1 = сР (и, г),
d¦ (6-21) L-^- = u~^{i) = Q(u, i).
Выясним сначала вопрос о существенности или несущественности малого параметра L. Так как Q = и — г|) (г), то
Qi = — (*)•
Из рассмотрения рис. 6.16 следует, что на линии Q = 0 (м. == (г)) есть участок, где т|/ < 0 (участок BD), и,
следовательно, для этого участка Qi ]> 0, а это значит,
Рис. 6.15
что для этого участка параметр L, несмотря на малость, является существенным. Поэтому рассмотрение динамической системы следует проводить с помощью уравнений
(6.21), считая L малым параметром. Состояния равновесия системы (6.21) определяются из уравнений
Е — и — iR — 0, и — (j) = 0.
На плоскости ui состояния равновесия являются точками пересечения линии и = ф (г) и прямой и — Е — iR
(^i = —Мы рассмотрим тот случай, когда R ]> Лкр,
где ЯКр — значение R, при котором прямая и — Е — iR пересекает линию и = \|з (г) в точке, где т|) (i) имеет вертикальную касательную. Примем также, что иг = Е > ]> т|) (0). Состояние равновесия при этом будет единственным и расположено на участке линии, где т|/ (г) < 0. Най-
224
РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[ГЛ.
дем условия, при которых это состояние равновесия будет неустойчивым. Характеристическое уравнение имеет вид
1 1
S -~7Г
ВС
_1_
L
L
О
или
RCLS2 + [L + RC\|/ (i0)]5 + R + i|/ (г0) = 0.
При выбранных значениях R /?кр и Е г|з (0) 0 < < —г|/ (г0) < R. Состояние равновесия будет неустойчивым
при L + /?Сг|/ (г0) <0 или ('"о)- При больших
R и С и достаточно малом L это условие может быть удовлетворено.
Перейдем к рассмотрению предельного случая L —*¦ 0. Вне линии Q = и — г|) (г) =0 при L —>¦ 0
di и — тЬ(?)
~dt ~ Z > °°‘
Следовательно, вне линии Q = 0 (в области быстрых движений) при L, достаточно малом, фазовые траектории близки к прямым и = const. При L —*¦ 0 фазовая плоскость вне линии Q = 0 заполнена вертикальными прямолинейными траекториями, соответствующими скачкообразному изменению тока. Это значит, что для всех начальных условий (вне линии Q = 0) имеют место скачки тока г через неоновую лампу при не изменяющемся напряжении и на конденсаторе. Медленные движения при L —>¦ 0 происходят только на том участке линии Q = 0, где Qi < 0 (\|/ (г) >0), и, следовательно, только на этом участке изменения в системе удовлетворяют уравнению (6.19). Заметим, что линия г = 0 (ось и) также относится к линии Q — 0. Из^е-i = 0 определяется уравнением
С . (6.22)
нение и на линии
dt
В
На рис. 6.17 показано разбиение плоскости ui на траектории при L —>¦ 0. При любых начальных условиях в
УТОЧНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
225
системе установятся устойчивые разрывные колебания, которым соответствует на плоскости ui предельный цикл
Если, например, в начальный момент времени i = О (лампа не горит), то изображающая точка будет перемещаться по оси и до точки В, из которой скачком перейдет в точку С, где i = ic (лампа загорается), далее, по кривой Q = О она будет перемещаться до точки D, где i = iD, и затем скачком перейдет в точку А (лампа погаснет). Далее процесс будет повторяться аналогичным образом. Найдем период колебаний. При движении от точки А до точки В в соответствии с уравнением (6.22) имеем
Время движения от точки С до точки D найдем с помощью уравнения
Период разрывных колебаний равен Т = 7\ + Тг.
Аппроксимируем участок кривой i = ф (и), где происходит медленное движение, прямой линией, проходящей через точки D и С:
ABCDA.
du ______ Е — и — /?ф (и) ш
~dt RC ’
оно выразится формулой
(6.23)
Перепишем это уравнение в виде
и —
С lD lCUn lDUC
Введя обозначения
ft* _ uc—.ud ‘с ~~ 'о
lCln lDuC
С — lD
8 Н. В. Бутенин и др.
226 РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
окончательно получим
