Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бутенин Н.В. -> "Введение в теорию нелинейных колебаний" -> 69

Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.

Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.Л. Введение в теорию нелинейных колебаний — Москва, 2000. — 385 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuneleneynihkolebaniy2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 125 >> Следующая


сф = М (?2 — ф), (6.2)
208

РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

(ГЛ. 6

где с — коэффициент упругости пружины, Q — угловая скорость вала, ф — абсолютная угловая скорость колодки, М — функция, выражающая зависимость момента силы трения от относительной скорости точек колодки,

соприкасающихся с валом, причем при cp=Q — Af0<; М (0)<JAf0, где М0 — максимальное значение момента силы трения покоя. Предположим, что схематизированная характеристика момента трения имеет вид, показанный на рис. 6.4. Для наглядности изображения движения вместо фазовой прямой введем фазовую кривую, в качестве которой возьмем характеристику трения, что можно сделать, так как в силу уравнения (6.2) координата Ф пропорциональна моменту трения (это конечно верно только там, где уравнение (6.2) отображает движение колодки). На рис. 6.4 по оси абсцисс откладываем относительную скорость ш = ?2 — ф. Если со = 0, то колодка движется вместе с валом; со = ?2 соответствует отсутствию абсолютного движения колодки, ф = 0 — единственное состояние равновесия. При рассмотрении принятой характеристики трения нужно всегда иметь в виду, что пока со = 0, момент силы трения может принимать любое значение от нуля до М0 — момента силы трения покоя, т. е. характеристика трения имеет вертикальную

М,

а-8

-м0

м0

О

Рис. 6.4

ветвь, совпадающую с осью ор-динат на участке от М = —М0 до М = М0. В силу того, что масса колодки достаточно мала, процесс ее движения можно разбить на две существенно различные • области:

1) область в которой сила упругости гораздо больше произведения момента инерции колодки на ее угловое ускорение. Движение в этом случае определяется силой трения и силой упругости пружины, координата системы меняется существенно, а скорость — медленно, т. е. ускорения невелики. Очевидно, для области справедливо (6.2);
ВЫРОЙСДЁННШ! СИСТЕМЫ

209

2) область, в которой произведение момента инерции на угловое ускорение значительно больше силы упругости пружины и движение определяется главным образом произведением момента инерции на угловое ускорение. Но так как момент инерции мал, то ускорение велико, координата не успевает значительно изменяться, скорость же системы резко меняется. В этой области уравнение (6.2) теряет свою силу. Это мы и увидим при исследовании этого уравнения.

Мы рассмотрим тот случай, когда угловая скорость Q вала такова, что ю = Q лежит на падающем участке характеристики трения. Напомним, что ю = Q соответствует состоянию равновесия колодки (ф = 0). Для того чтобы определить направление движения изображающей точки, продифференцируем уравнение (6.2):

сф = — М' (?2 — ф) ф.

Из этого выражения следует, что при М' 0 (М' =

= dM/da) знаки фиф противоположны. Если М' <[ 0, то знаки фиф одинаковы. Так как состояние равновесия (ф = 0) находится на участке, где М' 0, то это состояние равновесия всегда неустойчиво. При достаточно больших | ф | изображающая точка движется в сторону малых | ф ] до тех пор, пока ф не меняет знака. Изменение знака ф может, как это видно из выражения

M'(Q — <р) ’

произойти или от изменения знака ф, или от изменения знака М'. Изменение знака функции связано с переходом ф и М' через нуль. Если ф меняет знак вследствие изменения знака ф, то она также проходит через нуль; если ф меняет знак вследстие изменения знака М', то при переходе М' через нуль мы получаем из выражения (6.3) ф = = +оо. Следовательно, в точках фазовой кривой, в которых М' = 0, мы получаем точки «бесконечного ускорения». Изображающая точка или приближается с обеих сторон к такой точке, или удаляется в обе стороны от нее. Точка устойчивого бесконечного ускорения существенно отличается от -точек состояния равновесия, так как изображающая точка не может оставаться в этой точке ни в коем случае. Появление точки устойчивого бесконечного ускорения и есть следствие пренебрежения массой колодки, т. е. в этой точке уравнение (6.2) не дает ответа о
210

РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

[ГЛ. 6

поведении системы. Чтобы выйти из подобного положения, можно рассмотреть невырожденную систему, т. е. предположить, что тп Ф 0 (что мы и сделаем несколько позже), но можно, оставаясь в рамках сделанного предположения (тп = 0), сформулировать условия дальнейшего движения системы.

Покажем, что, исходя из рассмотрения приведенной характеристики трения, при наличии участка, где

М' (Q) <[ 0, колодка будет совер-/у шать периодическое движение.

д Сначала колодка вращается вместе с валом (ф = Q), пружина растяги-А вается (возрастает упругая сила), но возрастает также и сила тре-

t _____, |__, ния, оставаясь равной упругой

a S2 силе. Изображающая точка при

этом движется по участку А В Рис' фазовой кривой (рис. 6.5). Когда

момент упругой силы становится равным моменту силы трения покоя, изображающая точка попадет в точку В — точку устойчиво-
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 125 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed