Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Ь'2 ^ by /чсо,
Ф=-©1,
так как геометрическим местом вертикальных касательных для этого семейства будет прямая ф = 0, а координаты особой точки ф = Ь21с, <р = 0. Далее изображающая точка перемещается, по фазовой траектории семейства (6.7), пока эта траектория не пересечет фазовую прямую <р =
214
РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[ГЛ. в
= ?2 в точке At. Затем изображающая точка перемещается по фазовой прямой ф = ?2 до точки ф = MJc, ф = ?2 и далее, как это было описано выше. Таким образом, при выбранных начальных условиях мы получили периоди-
Рис. 6.8
(6.8)). Точка ф = 0, ф = Ъь вого равновесия. В области рождается в уравнение
с
ческое движение
Выясним теперь, что будет происходить с системой, если / —> 0. В области — ф ?2 уравнение (6.5) вырождается в уравнение
на фазовой плоскости это уравнение прямой (6.8). В силу уравнения (6.6) при / —*¦ 0 d(p/dq> оо, т. е. все фазовые траектории вырождаются в вертикальные прямые (за исключением прямой 'с остается точкой неустойчи-ф = —о)1 уравнение (6.9) вы-
На фазовой плоскости это уравнение прямой (6.12). В силу уравнения (6.10) dcp/dcp оо при / —> 0, т. е. все фазовые траектории, за исключением (6.12), вырождаются в вертикальные прямые. Фазовая прямая ф = ?2 остается фазовой прямой. Вид фазовой плоскости при / = 0 представлен на рис. 6.8. Для начальных условий —М0/с<' Ф М01с, ф = ?2 изображающая точка, перемещаясь по фазовой прямой ф = ?2 (колодка захвачена валом), попадет в точку ф = М01с, ф = ?2. Из этой точки изображающая точка скачком по вертикальной траектории перейдет в точку В (так как dtyldy —> оо при / —> 0), откуда,
„ . с / Ь2 \ !
перемещаясь по прямой ф =----------[ф------— 1, попадет
*) Читатель может убедиться, что и при других начальных условиях в системе устанавливается описанное периодическое движение.
УТОЧНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
215
в точку С с координатами
Af„ v
ф = —--------- (Q + (Dj), ф = - (Oj.
Из точки С в силу того, что при I —* О dty/dt оо, изображающая точка скачком перейдет по вертикали в точку D на прямой ф = ?2. Далее движение будет продолжаться описанным выше способом.
Таким образом, рассмотрение невырожденной системы и предельный переход помогли нам в данном случае понять сущность гипотезы скачка.
§ 2. Уточнение математической модели. Быстрые
и медленные движения
При разрешении конфликтной ситуации в примере, приведенном в предыдущем параграфе, связанной с решением вопроса о дальнейшем поведении системы при попадании изображающей точки в устойчивую точку бесконечного ускорения, было рассмотрено два пути: один, связанный с введением гипотезы скачка, и другой, связанный с отказом от рассмотрения вырожденной модели.
Однако в ряде задач удовлетвориться гипотезой скачка не представляется возможным, так как при этом нельзя выяснить с достаточной полнотой влияние отбрасываемого в уравнениях движения «малого» параметра на физическую картину движения динамической системы. Рассмотрение же «полной» динамической системы приводит к необходимости рассмотрения более сложных уравнений движения. Поэтому вполне понятна идея рассмотрения уточненной вырожденной математической модели, когда при составлении дифференциальных уравнений движения эти малые параметры учитываются. Тогда некоторые коэффициенты уравнений движения будут иметь порядок учтенного малого параметра. Такое введение малого параметра, особенно тогда, когда малому параметру пропорциональны коэффициенты при старших производных, позволяет значительно шире и глубже понять физическую картину движений динамической системы.
Изучению движения динамических систем с малыми коэффициентами при старших производных посвящено большое количество исследований ([1, 3—8, И—13] и др.). Наиболее полно этот вопрос в связи с разрывными колебаниями изложен в [1]. Мы ограничимся рассмотре-
РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕЁАНЙЙ
[ГЛ. в
нием динамических систем, уравнения движения которых могут быть представлены в виде
? = Р (х, У), \4 = Q (х, у), (6.13)
где (а — малый положительный параметр (этот параметр характеризует «малость» какого-либо параметра динамической системы), Р (х, у) и Q (х, у) — ограниченные и дифференцируемые функции х и у. При ^ = О мы получаем из (6.13) вырожденную систему
х = Р (х, у), Q (х, у) = 0. (6.14)
Пусть плоскость ху будет фазовой плоскостью системы уравнений (6.13). Выясним, в каком случае при достаточно малом (а движение динамической системы будет происходить в окрестности кривой Q (х, у) = 0, т. е. в каком случае можно не учитывать малых параметров при составлении уравнений движения. В соответствии с уравнениями (6.13) имеем
У=2^у1ш (5.15)
Пусть X и у — координаты точек линии Q (х, у) = 0, а I и г] — расстояния этих точек до какой-либо точки фазовой плоскости с координатами х и у. Считая ? и т} величинами порядка можно представить функцию Q (х, у) в виде
