Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
v j, v (?), • • • , v [*), которые описывают состояния отдельных осцилляторов, соответствующих вещественным нормальным координатам q (Jj.
Предположим, что в момент времени t = t0 система находится в состоянии 0 с квантовыми числами
v° (?) , v° (?) , ¦ • ¦ , v° p) , . .. (состояние 0) . (46.20)
Состояния, получающиеся при изменении квантового числа одного из дисперсионных осцилляторов на ± 1, а именно состояния с квантовыми числами
v° (?) , v° , ¦ • • , (?) ± 1 , .. . , v° р) ,. . . (состояния ± /) , (46.21)
будут называться в дальнейшем состояниями ± /. Все прочие состояния будут обозначаться в общем виде буквой s. Отметим, что для состояния 0, как начального, отличные от нуля матричные элементы электрического взаимодействия (46.3) существуют только для переходов в состояния ± /(/ = 1, ¦ ¦ ¦ , Зп).
В рассмотренной ранее схеме теории возмущений возмущение Н’ имеет теперь смысл суммы (46.3) и (46.5), а разложение (46.6) производится по волновым функциям невозмущенных состояний О, ± / и s. По предположению, коэффициенты разложения удовлетворяют следующим начальным условиям:
aQ = 1 и все a±j, as = 0 при t = t0. (46.22)
Если написать уравнение (46.7) для состояния 0, то в его правой части будут две группы членов, происходящие соответственно от ангармонического потенциала и электрического взаимодействия. Для нашей цели можно пренебречь последними по сравнению с первыми, так как при рассмотрении явления дисперсии в той мере,
400
Глава 7. Оптические эффекты
в какой оно не зависит от интенсивности оптической волны, можно
считать электрическое поле бесконечно малым. Таким образом,
задача определения коэффициента а0 сводится к задаче Вайскопфа— Вигнера, причем возмущением является ангармонический потенциал 0f [см. (46.5) ]. Отсюда получаем для а0
а0 = е-г°Г0 = у0(0), (46.23)
где
Уо (0) = -J- lim 2! < П'! Ф/10 > ;*, (46.24)
П А о> —. О (п')
а*т — время, отсчитываемое от t0,
r = t-t0. (46.25)
Уравнение (46.7) для состояний ± / можно записать следующим образом :
¦ 7 da±J
lh~rr-
T'N М (°j |е ехр z (± ш (Jj - coj t] +
+ Е* ехр[z (± со(?) + coj f]j< ±/|Q(°)|0>е~г°‘ +
+ 2 as<±j 14>f\ s > exp [z (со ± j cos) t]. (46.26)
5
Первый член в правой части описывает переходы из состояния О за счет электрического взаимодействия. Сумма по состояниям s описывает затухание состояний ± / за счет ангармонического потенциала. Связью с состояниями s благодаря электрическому взаимодействию мы пренебрегли по той же причине, что и при выводе коэффициента а0. Коэффициенты as в члене, описывающем затухание, как и в задаче Вайскопфа—Вигнера, можно исключить с помощью уравнений (46.7) для as
г А 4г]= a±j < s j Ф/ | ± / > ехр [z (cos - со± j) t]. (46.27)
Уравнения (46.26) и (46.27) должны рассматриваться совместно, причем в обоих следует брать всюду либо верхний, либо нижний знак. Использование уравнения (46.27) равносильно пренебрежению взаимной интерференцией затухания различных состояний ± /; ясно, что этот эффект является второстепенным.
§ 46. Влияние ангармонического потенциала на дисперсию
401
Чтобы решить систему уравнений (46.26) и (46.27), необходимо задаться некоторым «пробным» решением для коэффициентов a±j. Положим
+ B±j ехр со (°)+ш) /о] [ехр[/ (± со (^j+w) г — Г0 т] — е~г±]Т].
Это выражение, очевидно, удовлетворяет начальным условиям (46.22). Множители, содержащие t0, разумеется, могли бы быть включены в неопределенные пока постоянные A±j, В±]; однако при выбранном написании выражения (46.28) коэффициенты А±1, В±] окажутся не зависящими от t0. Подставляя (46.28) в (46.27) и интегрируя по т от 0, получаем
После подстановки (46.29) в (46.26) можно преобразовать члены, описывающие затухание, в интегралы по частотам перехода a±j—cos из состояний ± / в состояния s
A±jехр [/(± ш(°)—ш) to] (ехр['(± ш (°) —ш)т—Лт] —е_г±'т| +
(46.28)
ехр [/ (a>s — V±j) Г — Г±] т] — 1 i (uj и+j) Г+j
СО, — Cl) ±j
exp [/ (cos — ы+;) т — Г±j т] — 1 i (coj — a±j) — r±j
X
± 0) + coj to <s\0f\±jy.
(46.29)
Q)± = 0)±j — 0)s }
(46.30)
% Макс Борн и Хуан Кунь
402
Глава 7. Оптические эффекты
если ввести по аналогии с (46.14) функции
у±].(со±) = ~л lim л 2' I < s \ 0f | ± / > j2.
Л (ц + —i> О
Итак, (46.26) можно записать в виде
+
A±j [г (± со ^°) - со) - Г0] ехр [г (± со (°) - со) t - Г0г + А±]Г±] ехр [г (± со(°) — со) Г±j т J + В±у[г (± со(°) + со) х ехр [г (± СО (У) + со) t — Г0т] + B±j-r±j ехр [г (± со (°) + -Г±] т] = -jW {ЕМ (;°) ехр [i (±со(°) — со)/-Г0т + Е* М (°) ехр [г (± со (°) + со) / - Г0т]| < ±/ Q(°) | 0> -
