Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
+ / > е—'ш f X
X 1 +
2 Гв
+
+ B+j < 0 j Q (J) j + / > 1 + -
<?(?) — / > е~'т1 1 +
---—о -----+
/(« (¦) + «) - (П + Г-,)
+ B-j < 0! Q (?) | — / > eiluf 1 + -
(«(?) - с) - (Г0 + г_;) jj
(46.39)
Подставляя значения постоянных А±]-, B±j, Г0, Г±] соответственно из (46.34), (46.35), (46.23), (46.36) и группируя члены в соответствии
406
Глава 7. Оптические эффекты
с временными множителями ехр i a f), найдем, что (46.39) можно записать в виде
Р{ (0 = 2' aU (ы) e~ia,t + Компл.-сопр.,
(46.40)
где
1 +
X
2(0 (/)
2 У о (0)
X
‘ (“ (/) ~~ “) ~~ (Уо(0) + У г1 (0))
+
-(У)
1-4° ) - со + i Уо (0) - У-, (- СО (°
+
X
X
1 +
2 Уо (0)
+
‘ (“ (/) + “) ~~ (У° ^ + У~’
+
(j0) -rto-i [у0 (0) - У+,(ш (°) + o>)j 2 Уо (0)
X
1 +
‘ (“ (j) + “) ~~ (Уо (°^ + У+1
+
¦Й
— со . + со — I
X
1 +
Уо (0) - У, (- “ (°) + “)] 2 Уо (0)
+
X
‘ (“ (/) ~~ “) ~~ (у°(0) + у-1 (0))
(46.41)
Здесь использованы следующие значения матричных элементов Q
h
0V
<±^о>к§п
2 со
О '
Величина а^(ш) выражает парциальную диэлектрическую восприимчивость, обусловленную дисперсионным осциллятором (?); тензор
§ 46. Влияние ангармонического потенциала на дисперсию
407
полной восприимчивости получается суммированием а{р(ы) по всем дисперсионным осцилляторам.
Обсуждение тензора восприимчивости будет проведено в следующем параграфе. Сейчас вернемся к рассмотрению широко используемой формулы (46.16). Предположим, что постоянная Г в интеграле, вообще говоря, комплексна
Г = у + i д (у > 0). (46.42)
Интеграл
j' ( 1 — ехр [Г/ + i со/1 ) , . , Г ( 1 — ехр [у / + i (со + <5) /] I , . .
J (-----—im~f | (W) J |------------------i(k+6)-Y
(46.43)
может быть представлен в виде суммы следующих трех интегралов :
(О (2) -J —yoHda,,
С ехр [у t-т iloi + 8) t\ , ч .
(3) J- Г(ш + (5) Ьу;1>'о Н ^-
Маше исследование интеграла (46.43) имеет два аспекта : а) В какой мере и при каких обстоятельствах этот интеграл не зависит от параметра f? б) Чему равно при этих обстоятельствах значение интеграла? Ответ на первый вопрос определит область времени, в пределах которой существует решение типа Вайскопфа—Вигнера ; ответ на второй вопрос определит постоянную затухания в этом решении. Поскольку интегралы 1 и 2 не зависят от t, в связи с первым вопросом надлежит рассмотреть только интеграл 3. Допустим, что в пределах интервалов частот порядка 2 е0 изменение у0(ы) незначительно, и рассмотрим интеграл
/ (е)='Т «рд?^+/-+М. й о>=
v ' J I (со + д) + у
—<5 —е
= )’ dco' (со' = со +д). (46.44)
--5
Если окажется, что при некоторых значениях t интеграл 1(e) имеет практически одно и то же значение для всех значений е > е0, то можно сделать вывод, что основной вклад в интеграл 3 дает интервал частот от со = — 5 — е0 до — 5 + е0. В этом случае для интеграла
3 имеем
I’ "/0 Н йт^УЛ~Ь)1 Ы ¦ (46.45)
Чтобы выяснить, при каких значениях t осуществляется вышеука-
408
Глава 7. Оптические эффекты
занное положение, сделаем в (46.44) подстановку
= J ехР \У1' + *¦««'/'](//'. (46.46)
— оо
Выполняя интегрирование по со', получаем
1(e) = 2 \ е* d /'. (46.47)
-QD
Если не учитывать множителя eyt', то главный вклад в этот интеграл дает интервал сравнимый с 2г/е; таким образом интеграл в широких пределах не зависит от / для всех значений е > е0 в том случае, если
/ => — . (46.48)
?0
Кроме того, каждая «пучность» функции (sin е /')//' дает вклад в интеграл, составляющий, грубо, долю 2 тг/е / от вклада центральной «пучности» при t' = 0 ; поэтому множителем е?1' в (46.47) уже
нельзя пренебрегать, если evt(2 л/е t) сравнимо с единицей. Таким
образом, из требования независимости 1 (е) от е > е0 получаем верхний предел для t, определяемый неравенством
(46.49)
Из (46.48) и (46.49) следует, что чем больше тем шире интервал t, в котором I (е) в широких пределах не зависит от значений е > е0. В пределах этого интервала можно записать (46.47) приближенно как
ос
2 \^^dt' = 2п (46.50)
