Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
где сумма со значком 1/2N вверху означает, как и ранее, что суммирование отбирает только одно из пары волновых чисел у' и —у'. В (47.5) все члены отличны друг от друга ; каждый из них вызывает отдельный переход, в котором участвуют три осциллятора ; одним
из них является дисперсионный осциллятор (?) (исключение составляют члены последней суммы с /' = /" ; эти члены приводят к переходам только первого порядка и не имеют отношения к ангармоническому затуханию). Различные типы переходов и квадраты соответствующих матричных элементов которые легко получить
412
Глава 7. Оптические эффекты
с помощью (47.3), таковы :
Квантовые числа, входящие в квадраты матричных элементов <Pf Частоты перехода
ю+ 0И71 + >) {* (Я + ¦) -4°) -"С- Э---(Я
W+ .) -(Р НЯ + 1) -<"(?) +“[/•
К)+ 1) *(Я "(7) ЗНЯ
•0°) ИТ )+')(”” (Я+1) Э-й
•0 -(Я [-(Я + 0 "0+"(/' ¦)-“й
Ч?) -Ю -(7) ) +"й
(47.6)
Здесь второй и пятый типы описывают истинные переходы третьего порядка для /' ф /. Эти квадраты матричных элементов можно непосредственно использовать для вычисления функций y0(oj),
у±j(a), причем для указанных трех случаев квантовому числу v^.)
в (47.6) следует приписать значения v° (?), v° (°) + 1 и Ч°)-‘ соответственно.
Заметим, что несмотря на то, что N входит в матричные элементы, функции у0(а) и y+j(o}) не зависят от N. При построении этих функций можно рассматривать вклады каждого из шести типов переходов отдельно. Например, чтобы вычислить вклад, вносимый переходами первого типа, надо рассмотреть сумму величин
' '' (47.7)
по всем значениям волнового числа у' таким образом чтобы
было заключено между а и а + Л ы. Поскольку плотность разрешенных значений у' пропорциональна N,
§ 47. Дисперсионная формула с затуханием
413
мы приходим после образования суммы к результату, не зависящему от N. Как легко убедиться, этот вывод одинаково справедлив для ангармонических членов любого порядка.
Рассмотрим дисперсионную формулу (46.41) для нескольких частных случаев.
7. Низкотемпературный предел Т --- 0°
Для этого случая v° (?) = 0 ; таким образом, второй и четвертый
члены в (46.41) выпадают. Кроме того, постоянные затухания у0(0)
и у+;(и + а (?)) равны нулю. В этом легко убедиться следующим
образом: у0(0) определяется переходами с практически равными нулю частотами, т. е. переходами, практически не связанными с изменением энергии. Если бы такие переходы были возможны, то,
поскольку энергия осциллятора (^), находящегося в наинизшем
состоянии, необходимо должна увеличиться, по крайней мере у одного из прочих осцилляторов энергия должна была бы уменьшиться. Но так как это невозможно (все осцилляторы уже находятся в своих наинизших состояниях), то, следовательно, такой переход произойти не может, а значит, уо(0) обращается в нуль. Очевидно, что значение у0(0) станет заметным только при температуре, достаточно высокой, чтобы перевести значительную часть осцилляторов в возбужденные состояния. Аналогичное рассуждение применимо
к случаю y+J- (и + и (?)), относящемуся к переходам, приводящим
к состояниям с энергией на Л(и + и (?)) меньшей, чем энергия
состояния + /, т. е. с энергией на ha ниже энергии начального состояния. Поскольку начальное состояние является в данном случае наинизшим состоянием системы, то таких переходов не
существует, и, следовательно, надо положить у rJ (и + и (?)) равным нулю [у-j (и + щ(у))> очевидно, равно нулю).
Полагая в (46.41) w°(®), у„(0)и y.rJ- (и + а (?)) равными нулю, найдем, что в этом случае дисперсионная формула сводится к виду
. (47.8)
414 Глава 7. Оптические эффекты
Постоянные затухания обычно малы по сравнению с ш(?) | / относится к оптической ветви ; заметим, что М (?) = 0 для акустических ветвей^ При рассмотрении области поглощения, в которой постоянная затухания сравнима с | со (?) — ш\ или больше, вторым членом в (47.8) можно пренебречь. "Кроме того, в этой области 2 а (?) ~ а (?) +ш~2о); таким образом, (47.8) можно приближенно записать в виде
ма (°1 (?)
l/J l/J
Va
4°) --з-Ч°) К'К°)Н].
Заметим, что эта формула по виду аналогична элементарной формуле
(10.6), с той, однако, существенной разницей, что входящая в (10.6)
постоянная у заменена здесь величиной 2 у.г]- (щ (?)— щ), являющейся функцией частоты а. Вне области поглощения можно пренебречь в (47.8) величиной у (ш (?) — ы), а в элементарной формуле
(10.6) — постоянной затухания у ; тогда обе эти формулы становятся идентичными. Таким образом, наш вывод аналогичен тому, к которому пришли Борн и Блэкман, что единственным существенным отличием теоретической формулы от формулы (10.6) является замена постоянной у на некоторую функцию частоты.
Если допустить, что существенное значение имеют только ангармонические члены третьего порядка, то должен существовать
