Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
- ^ А±] ехр [г (± со (°) - со) / - Г0т] х
1 - ехр ^ (ш+ ^ ы ^) + со) т + Г0 т]
+
17±'(ш±) ( (V\- Л
J -/(«.tTwfTJ + aJ-r,
+ -¦ A ±j ехр [г (± со [°) - со) f0 - Г±} т] х
xjy±;(W±){^tg^^}dco±-
— B±j ехр [г'(±со(°] +co)/-r0rj х
1 - ехр (ш+ т со ^) - со) т + Г0 zj
d со±
Jy±j(w±) I /O'! 'I
J -/(со±Тси(У)-со)--Го
+ B±j exp[z (± со (°) + со) - Г+Jrj x
d co ± +
(46.31)
-r0\x
со) to -
(46.32)
§ 46. Влияние ангармонического потенциала на дисперсию 403
Подставляя значения интегралов, согласно (46.17), получаем A±j [г (± со (°) - «) - Г0] ехр [г (± а> (°) - «) t - Г0 т] +
+ Д±уГ±уехр ^ (± w(°) - w)f0 -Г±;т] +
+ B±J [г (± (a (?) + w) — Г0\ ехр [г (± «(?) + «) t — Г0 т] + + В±;Г±j ехр [г (± w (?) + w) t0 - Г±уrj =
= - Х^<±/1С?(/):0> !ЕМ(/))ехР[г’ (± W(/J - W)*-/V] +
+ Е* М (?) ехр [г (± « (?) + w) t - Г0 т] j -
- A±J exp [г (± (о (?) - wj t - Г0 r] y± j (± w (?) - w) +
+ A±j exp [г (± ш (?) - w) t0 — Г±y rj y±, (o) -
— B±j exp [i (± a> (?) + wj t — Г0 rj y±j (± w (?) + w) +
+ B±j exp [г (± " (?) + w) t0 — r± jr] У±j (0) ¦ (46.33)
В полученное уравнение входят зависящие от времени множители следующих типов :
ехр (г (± о) (?) — со) t — Г0 т], ехр [г (± « (?) + ш) t - Г0 т] ,
ехр [-Г±Jr\.
Это уравнение удовлетворяется, если объединить члены, содержащие множители с одной и той же зависимостью от времени, и приравнять нулю соответствующие коэффициенты. Таким образом, получаем следующие значения различных постоянных :
Vn м (?) е < ± /1 Q (?) | о >
д±;=-л—гщ---------------Ч-------т^тщ—ут* (4б-34)
± о» (yj - о, + ([Г0 - y±j (± с (“) - а.)]
Vn m(?)e*<±/|q(?)|o>
в±] = -}-------т^---------------Т^Щ—уГ . (46.35)
± Ш(У) + Ы + ('(Г0-У±У(±Ш(У) + a»JJ
26*
404
Глава 7. Оптические эффекты
r±J = v±J(0). (46.36)
Эти постоянные полностью определяют выражение (46.28) для коэффициентов a+j. Величины A+j, B±j, а следовательно, и коэффициенты a±j линейны относительно электрического поля.
Индуцированный электрический момент, обусловленный дисперсионным осциллятором (°) , представляет собой математическое ожидание оператора электрического момента
Образуя математическое ожидание этого оператора с помощью возмущенной волновой функции Ф = ^ апгрп1л удерживая отличные от нуля члены только наинизшего порядка, получаем для индуцированного 'электрического момента, возникающего за счет дисперсионного осциллятора (^), выражение
WМ ( ¦) {< о! Q (°) j + / > а* а±;+
+ < 0! Q (у) ! — / > ао a-j + Компл. - сопр. | . (46.37)
Деля это выражение на объем Nva и подставляя выражения (46.23)
и (46.28) для а0 и a+j соответственно, получаем диэлектрическую
поляризацию, которая может быть записана в виде
-„7ТГ " (?) N<0K°)|+;>,-'[e*p(-2r0l)-
- ехр (- i (со (°) - со) т - (Г0 + Г+;) т)] +
B+j < 0 | Q (°) [ + / > е''“ ‘ [ехр (—2 Г0 т) -
- ехр(— i (со (°) + со) т - (Г0 + Г+,) т)] + + A-j{ 0 j Q (°) | - /> <Н“"[ехр (- 2 Г0 т) -
- ехр (+ i (со (°) + со) т - (Г0 + Г_у) т)] + + B-J < О | Q (°) ] - / > е'“‘[ехр (- 2 Г0 г) -
- ехр (+ i (со (°) - со) т - (Г0 + Г_у) т)] +
-f- Компл.-conp.J , (46.38)
§ 46. Влияние ангармонического потенциала на дисперсию
405
где t0 заменено на t — т. Благодаря множителям в квадратных скобках, вышеприведенное выражение (в смысле его зависимости от времени) не совпадает по фазе с электрическим полем (46.2). Это как раз то, чего следовало ожидать, так как принятое начальное состояние, так сказать, создается в произвольный момент времени t0. Действительно, (46.38) имеет характер импульса, начинающегося при т = 0 (т. е. при t = t0) и затем убывающего с возрастанием т. Это связано с тем, что начальное состояние имеет лишь конечное время жизни, равное 1/2 Г0 [см. (46.19)]. Поэтому чтобы получить истинную диэлектрическую поляризацию в момент t, нужно проинтегрировать (46.38) по t0 от — оо до / и разделить на
Это можно интерпретировать, допустив, что начальное состояние непрерывно воссоздается 2 Г0 dt0 раз в интервале от t0 до t0 + dt0. Иными словами, чтобы получить истинную диэлектрическую поляризацию, надо умножить (46.38) на 2 Г0 dt0 и проинтегрировать по /0 от — оо до момента наблюдения t. Отсюда, выбирая т в качестве , переменной интегрирования и выполняя интегрирование от т = О дот = оо, получаем для диэлектрической поляризации Р;(/), обусловленной осциллятором (?), следующую формулу :
