Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
верхний предел для со, выше которого функция уч- (ш (?) — ш) обращается в нуль. В самом деле, если штах представляет собой наивысшую частоту колебаний решетки, то из (47.6) очевидно, что алгебраически иаинизшая частота перехода равна
Ы (/ ) 2wmax •
Поэтому
М»ГО-»)=0’
если со настолько велико, что (ш (?) — ш) становится меньше
ГСЛ „
L Ишах, т. е. если
со > 2 (со (?) + шп1ах) • (47.9)
? 47. Дисперсионная формула с затуханием
415
Таким образом, следует ожидать, что при возрастании начиная
от дисперсионной частоты ш, поглощение должно обнаруживать явно выраженный спад при достижении предельного значения
2 (и + «шах). Для случая NaCl wmax равно и, — частоте длинноволновых продольных колебаний, принадлежащих к оптической ветви.
Подставляя значения со1 = 4,9 ¦ 1013 сек-1 и ы (?) = 3,1-1013сек-1
(см. § 7), найдем, что предельная частота отвечает длине волны около 12 /г. По наблюдениям Черни [7] поглощение в NaCl сильно уменьшается, начиная с длин волн около 20 /г и ниже, и доходит до пренебрежимо малых значений в окрестности 12 /и.
2. Крылья области поглощения
0°)
со — со . больше
постоянных затухания
За исключением очень низких температур, различные постоянные затухания в дисперсионной формуле (46.41) должны быть, грубо, одинаковы по порядку величины. По оценке Черни, для случая NaCl, значение постоянной затухания в формуле (10.6) равно 1/20 дисперсионной частоты. Поэтому существует область частот, в которой поглощение еще заметно, однако членами более высоких
степеней относительно — “(у)] м°жно приближенно пренебречь. В этом приближении дисперсионную формулу (46.41) можно записать в виде
1
7оГ'
+
+ i
2со у0 (0)
_.+М"0_—1
У+]
(• (?)+")
И/Ы Н°Ь")' НУ1-")'
+
+ IV (У)
+
К0)Н
н°м:
М-" (/)-“)- (/)+"))
+
(47.10)
Вещественная часть этого выражения совпадает с дисперсионной формулой, основанной на гармоническом приближении, и не зависит от температуры. Мнимые члены зависят от температуры через
416
Глава 7. Оптические эффекты.
постоянные затухания. Если рассматривать только ангармонические члены третьего порядка, то постоянные затухания составляются из членов, каждый из которых содержит произведение трех осцилляторных квантовых чисел [см. (47.6)]. При высоких температурах «тепловое» среднее от осцилляторного квантового числа грубо пропорционально Т. Поэтому постоянные затухания приближенно пропорциональны Т3. Отсюда следует, что при высоких температурах первая группа мнимых членов изменяется, грубо говоря, как Т3. Остальные мнимые члены в (47.10) содержат добавочный множитель v° (?) ; однако представляется вероятным, что
эти члены, вместе взятые, изменяются не быстрее Т3, так как разности между каждыми двумя постоянными затухания, вероятно, не изменяются с температурой так быстро, как сами постоянные затухания (см. ниже).
3. Центр области дисперсии Полагая а = <u(?j в (46.41) и пренебрегая степенями отношений постоянных затухания к ш(?), после некоторых упрощений найдем
1 +
+ i
i
(?) И?)
в" (?) (y_j (0) — (0))
. Уо (0) + У+j (0) (у„ (0) + y+j (0)) (уо (0) + y_j (0))
(47.11)
Из тех же рассуждений, которыми мы пользовались выше, следует, что первый член в квадратных скобках должен убывать с возрастанием температуры, как Т~3. Второй член в квадратных скобках содержит в качестве множителя у-/0) — y+j(0). Легко убедиться, что операции суммирования, с которыми связано построение величин у-/0) и y+j(0), идентичны, с той лишь разницей, что квантовому числу v (?) в соответствующих матричных элементах придаются
различные значения [см. (47.6)]. Таким образом, если представить отдельно вклады, вносимые соответственно первыми тремя и последними тремя типами переходов, перечисленных в (47.6), то можно записать y~j(0) и y+j(0) в виде
У-;(0) = »°(°) ^+ (i;°(?)- l)B,
(47.12)
y+J (0) = («" (?) + 2) Л + (»° (°) + l) В,
§ 47. Дисперсионная формула с затуханием
417
где А и В —¦ суммы членов, каждый из которых содержит произведение двух осцилляторных квантовых чисел. Разность обеих постоянных затухаиия
V-J (0) - Y+J (0) = - 2 (А + В) (47.13)
изменяется, очевидно, как Т2 при высоких температурах. Поэтому последний член в (47.11), как и предыдущий член, изменяется с температурой, как Т~3.