Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
— оо *
(мы пренебрегли evt' и положили / -»¦ оо), так что интеграл 3 сводится к [см. (46.45) ]
2лу0(-д). (46.51)
Решение типа Вайскопфа—Вигнера имеет физический смысл
только в том случае, если оно справедливо для большей части соответствующего времени жизни. Это означает, что вышеприведенные пределы для / должны допускать значения evt значительно большие, чем единица. Тогда из (46.49) следует, что е0 должно быть значительно больше у. При таких обстоятельствах из равенства
§ 46. Влияние ангармонического потенциала на дисперсию
409
ясно, что интеграл 2 определяется главным образом интервалом в от —б— е0 до —б + е0 '> в пределах этого интервала у0(а>), по предположению, не изменяется заметно. Поэтому для интеграла 2 имеем
—Л +
~J' 7* ?+W-*<-«> f 4j. "'“~
—5 — ?0
^ — лу0(— д). (46.53)
Иначе обстоит дело с мнимой частью интеграла 1. Поскольку функция
со -|- <5 (со 4- <5)а + уа
нечетна относительно точки а = — б, симметричный интервал от
— б — е0 до — б + е0 практически не дает вклада в интеграл. Однако вследствие более медленного убывания вышеупомянутой функции заметный вклад может дать более удаленная часть интервала частот, и в этом случае нельзя указать простой формулы для интеграла.
Собирая воедино полученные выше результаты, имеем, таким образом,
I’ 1 - ехр [у t -г i (со + a) f] . . , / л\ ,
|----^(а,-;.б)гУ 70- 71 Уо(~д) +
+1 j I Ъ2!у°(4б-54)
Как было показано, эта формула должна быть приближенно справедлива, если е0 у и если t заключено в пределах, определяемых неравенствами (46.48) и (46.49); напомним, что е0 является мерой максимального интервала частот, в пределах которого еще можно пренебречь изменением у0(ш).
Если бы мы при рассмотрении задачи Вайскопфа—Вигнера применили формулу (46.54) вместо формулы (46.16), то получили бы комплексное значение постоянной затухания
r = y + it5, (46.55)
где
У = Уо(— д)>
а б — решение уравнения
s 1 |’| co-f(5 I / \j
я]|-(® + й)*+у}Уо(“)</<и-
Таким образом, полученное ранее с помощью формулы (46.16) решение (46.18) эквивалентно пренебрежению величиной б. Если
410
Глава 7. Оптические эффекты
бы мы не положили 8 равным нулю, то наиболее важным видоизменением формулы (46.41) для диэлектрической восприимчивости было бы появление некоторых сдвигов частот, входящих в различные знаменатели и в аргументы постоянных затухания у0(ш), у+ (ш).
С математической точки зрения большое сходство с вышеприведенным рассмотрением имеет классическая теория Борна и Блэкмана [3 ]. Одно из упрощений, сделанных в их работе, эквивалентно принятию а0 = 1 при интегрировании уравнения (46.7) для пф 0. Полученное таким образом решение справедливо для гораздо меньшей доли времени жизни, чем решение типа Вайскопфа—-Вигнера. Влияние этого упрощения, грубо говоря, эквивалентно приравниванию нулю величин Г0 и Г±у, это приводит к значительной разнице в результатах только при сравнительно высоких температурах, когда величины Г0 и Г+j заметны и ими нельзя пренебрегать (см. также § 47).
Рассмотрим прежде всего характер функций у0(ш) и y±j(<v), предположив для этой цели наличие ангармонического потенциала третьего порядка. Сохраняя в (46.5) только члены третьего порядка и выражая комплексные нормальные координаты через вспомогательные переменные а+ и а~ [см. (38.38)], имеем
где благодаря входащему в (46.5) множителю Л (у” + у") [см. (38.13)] остается только одно суммирование по у'.
Согласно определению вспомогательных переменных
§ 47. Дисперсионная формула с затуханием
2 j ш '?/ 2 | «о ,(Ч ’
(47.2)
§ 47. Дисперсионная формула с затуханием
411
находим, что их отличными от нуля матричными элементами [относительно осцилляторных волновых функций вещественных нормальных координат У (у)] являются лишь следующие :
О + 1 \а+ [«> = I ('2^г)/2 (« + l)!i ,
(47.3)
<v — 11 a- j v > = - г (^-)'2 v* .¦
Перед тем, как рассматривать матричные элементы ангармонического потенциала, отметим, что не все члены в (47.1) отличны друг от друга. Действительно, благодаря соотношению симметрии (см. § 39)
Ф(/Г7')=Ч07УЬ (47-4)
практически все члены (кроме нескольких членов с у' = 0 и /' = /") входят в (47.1) попарно. Далее, если заменить у' на —у' и поменять местами /' и /", то первый и последний члены в фигурных скобках остаются неизменными, в то время как второй и третий члены взаимно преобразуются друг в друга. Следовательно, комбинируя такие пары, можно переписать (47.1) в виде
