Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
движении ? и tj равны нулю.
Случайное вырождение требует следующего канонического преобразования:
(3) да, = A = y(3i+3t')
да^Шг-nV, -Л'(&-&')
или решая относительно новых переменных,
(3') lDi=}((r)l+(r)i'). &=Л + /,'.
да/), 3i'=A-Ji'
Геометрическое значение да3, да3', У8 и у зависит от положения системы
координат.
Если мы совместим плоскости (л:, _у) и (л:', У) с неизменными плоскостями
системы (исключение линии узлов), то
будет общим импульсом вращения и да8 - да3' = -^-. Так как
энергия возмущенного движения может зависеть только от комбинации /8+/8V
мы полагаем
да3=№8+ш3', ,
Для вычисления фазового соотношения мы должны в исходном движении
выразить функцию возмущения (2) через переменные toj, to,', to3, Si. S'i>
Зз- Из простых .геометрических построений мы первым долгом получаем (рис.
39):
(5)
a:=a)0cos 2kw3 -у0 sin 2тс ws cos i \
y = x0 sin 2v wa +_y0 cos w9 cos i z=_y0sini,
где x0 и y0 - прямоугольные координаты электрона и его траектории (линия
узлов служит осью л;0) и / обозначает наклон
плоскости орбиты относительно плоскости (ху); для последнего имеет место
уравнение
(6)
• Л
COS 1=~Л = р = р'.
J1
(7)
Для х0, у0 мы имеем л0=a cos 2itwu уй = а sin2wz>"
п _ 31
а--
We^mZ 16it
Функция возмущения теперь будет:
<8)
где
\HY- .,-L--------
а/ 2(1-/г2)
kz=~(XX'-{-yy'-VZZ')^ -COs2tc (tOt + tt?,') COS 2тс (ш, - Ш,')-
(9)
+sih2it(ro14-to1')sin2it(to1-to,')(l- 2 p2) =
= - (1 - p(r)) cos 4itto, - p2 cos
1t)8 не входит; это циклическая переменная, и Зз - общий импульс
вращения- постоянный.
Произведем далее усреднение функции возмущения по невозмущенному
движению, а именно:
- е2 г dvo.
То постоянное значение, которое №/ принимает при невозмущенном движении,
определяется из уравнения
дНх
дпг'
- 0.
Здесь это уравнение запишется, как
/
,0
и только тогда удовлетворяется, когда;р=0 или №х' =
имеет значение 0 или Д- /-4-
4 ^ 2
T(№l'
относительно положения равно-
значно нулю). Если бы р=0, то, как следст- Js
вие, выходит, что и /3 = 0 и оба электрона вращались бы по одному кругу,
но в противоположных направлениях, а такой случай
необходимо исключить. При условий
электроны каждый раз сталкивались бы на линии узлов. Таким образом может
иметь место только такой случай, когда оба электрона одновременно
проходят через их линии узлов, №/=0. Тогда они в каждое мгновение
находятся в одной и той же меридиональной плоскости, проходящей через ось
импульса вращения. Прибавим еще к нашему выводу квантовые условия. В
возмущенном движении остается $/ = 0; мы полагаем Qi равным 2h и для мы
имеем значения 2h, h или 0;
соответственно р равно 1, или 0;р=0, как мы указывали выше,
- 1 исключено; р= 1 дает плоскую модель атома гелия; Р- ^ дает
некоторую пространственную модель, где нормали орбитных плоскостей
составляют друг с другом угол в 120° (рис. 40).
Бором впервые была предложена плоская модель - модель Не .1. Оба
электрона лежат на концах диаметра траектории. Задача сводится к проблеме
одного тела. Каждый электрон движется в силовом поле потенциала
(z-t)
1 Bohr, Phil. Mag. Bd. 26, S. 476, 1913.
Борн-109-19
289
Он совершает кеплеровское движение с энергией
следовательно, энергия всего атома будет равна
(11) W= - 2Rh(z-^r'f.
\ 4 /
В частности для гелия (Z= 2)
4Q
(12) w= - ~Rh.
Пользуясь такими соотношениями, можно определить работу отрыва первого
электрона. Мы знаем, что после такого отрыва атом должен перейти в
нормальное состояние ионизированного гелия с энергией
Ж= - Ш.
Разность энергий
(13) WaoH = ~Rh
дает работу отрыва первого электрона или энергию ионизации нейтрального
атома гелия.
Перечисляя все на напряжение ионизации, мы должны для энергии Rh
водородного атома положить напряжение равным 13,53 вольт, из чего
следует:
Уион = 28,75 вольт.
Это значение не подтверждается опытом; более того, опыты с уДарами
электронов дают1:
(14) Уион= 24,6 вольт1.
Хотя найденное здесь движение и удовлетворяет как уравнениям движения,
так и квантовым условиям, но оно не является предельным случаем либрации,
а поэтому неустойчиво. В силу наших выводов § 45 относительно случайно
вырожденной степени свободы, движенйе с фазовым соотношением тогда только
устойчиво, когда
дгН0
имеет максимум. Очевидно, что Н1 имеет минимум и, следовательно,
числитель имеет максимум; однако, (как мы показали
1 J. Franck, Zeitschr. f. Physik, Bd. 11, S. 155, 1922.
290
в § 45) знаменатель отрицателен. Это последнее затруднение не
представляло бы еще для нашей модели веского возражения, так-как еще не
известно, действительны ли обыкновенные условия устойчивости в квантовой
теории. Но против модели говорит результат наших вычислений, т. е разница
между вычисленным напряжением ионизации и найденным экспериментально.
Пространственная модель была предложена также Бором и подробно
исследована Крамерсом1. Мы производим вычисление энергии только в первом
приближении.
Энергия невозмущенного движения равна
где R- ридберговская частота.
