Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
)
e2Z e*Z
r2_j_r'2 - 2/r' [cos d cos d'+sin &sin &' cos (<p - +члены теории
относительности.
293
Наконец, нам еще необходимо иметь переменные w\, w\, J\ J\ внутреннего
электрона, из которых (как и прежде) w\ J\ должны соответствовать
главному квантовому числу и w2', J'2 - побочному квантовому числу.
Так как исходное движение внутреннего электрона предельно вырожденное,
нам целесообразно переменные w\, w'2> J\, J\ заменить новыми переменными.
Для этого произведем каноническое преобразование
(2) I--1//'^ sin 21ш'а
cos 2v.ii/л
и затем снова опустим черточки. Вычислим теперь в этих новых переменных
среднее значение //, по w\.
Развернем одновременно Нл по сферическим функциям, т. е.
по степеням -jj- и по степеням ? и ¦"]. Ограничиваясь членом ,
мы видим, что эта степень приближения соответствует учету линейных членов
относительно \ и у\.
Итак, теперь
(3) Г0=-----
и
<4> w,=H,=^,;+&y
ецг-1)
+ Д,^-+А +
~ гэ
+ члены теории относительности,
где ан обозначает радиус водорода.
Вычисления для Д, и Д2 дают:
(5) |kjcos4> - Е sinф Д-Ji 1
Здесь мы опустили все члены, содержащие S и ^ выше, чем в первой степени.
294
Ла 4Z2 А4
Диференциальное уравнение в частных производных//^ const не разделимо, но
в силу того, что оно распадается на члены, имеющие различный порядок
величин, его можно решать методами теории возмущения.
Мы полагаем, что
Теперь введем в Нх угловые переменные и переменные действия wlt w2, Jv /2
обозначенного через §0 невозмущенного кеплеровского движения внешнего
электрона. Далее, заменив wx через истинную аномалию <plt связанную с wlt
следующим уравнением (ср. (18) и (7') § 22)
Затем положим (ря=2ящ"2 и, подставляя J\ = h, мы приходим к следующим
уравнениям:
(6)
^1 = (r) 0"М? 1 + §2>
где
(7)
г
+ член относит.
(8)
d(2nw1) =
Л Жfi
J\ (1 - 6 COS<pi)2 '
1
ij cos (ipt+Va)-E Sin (?,+?,)- h j-i---------
2 J
(Z-l)3 D. he n ..
(r)2= ~~2Z* •ЯЛ'-тгО-ecos?i) '
295
Здесь а обозначает постоянную 3 о м м ерт? е л ьд а тонкой структуры а=
(ср. § 33).
Члены, пропорциональные а2, содержат для внешнего и внутреннего электрона
поправки на относительность. Для решения нашей задачи применим метод,
данный нами в § 46.
Итак, мы ищем некоторую функцию
(10) S=wt &+SH+?i Z-AJ1,
вводящую переменные Зи Е,Н, благодаря которым Нх делается линейно
независимым относительно Е и Н и вообще независимым от toj. Члены Ти
Т2...; Л2, Аъ...; В%, В3 в (10) все опущены, так как в этом приближении
они просто нам не нужны.
Производящая функция (10) дает следующие преобразования:
л=з,+е4§- н-^*-
dwl dw1
/11\ дВх " дАj
(И) ft)1 = ?2/1 + $--55ri---------Н 1
<>3i
ri=H+В,
Н = 5-Л1.
Отсутствие необходимости в функции 7\ объясняется тем, что не имеет ни
одного свободного члена от ? и т).
Полагая для сокращения
$1 = ^5 + ^, мы можем написать следующие уравнения:
(12) ?0=28о
<13>
(14) ^А1^^а1А1 + Ъ1В1 + ^2=^2.
При этом в (14) мы опустили члены с ? и Из (13) следует:
дВ±_____
dw1 ъ dwt *'
Далее, из этого и из (14) посредством образования среднего по wt для ? =
7] = 0 имеем:
(16) та+й.-яз,.
296
Таким образом нам нет надобности вычислять Л,. Средние значения легко
находятся с помощью (8) (ср. § 22). Из (9) и (15) мы получаем:
2 Rh* (Z- I)2 дВг __ hi3 дЩ
=3 V 2тг Rh.1¦ V ^ _ е CQS sin + ^ -А_ ^
ZJ% Z ILJ 2
Следовательно ___________ _
Bi = - j dw j ^V'^hV h_^ (i _e cosy^sm (<p,+<pa)
2hf2
и
/,74 _ 3hy h . . . Зз-Ц - A2
( } 2y^2uZ/2 C0S(tpl+<f2) 2hP •
Из этого следует:
/юч и d 9-Rh6{Z-\)2n Ч2 , За -Л2 -Aa
(18) С1 - е cos <Pi)2 cos (*i + <P.) ~ 2 ЛУа-
и, наконец
П9) ш _ №(Z- lj* J9* Ъ\-П-У
\lu> 'Ы5а- л 7а суз \ у2 ' 2 J h
ЧЬ { J2
(Z - 1)A
Л
-3)J.
A[ 1 Si4 I A
Мы видим, что при образовании среднего по в и Ш2 исчезает зависимость от
w2: в этом приближении w2- циклическая переменная и J2 остается
переменной действия. Следовательно, квантовые условия будут:
S^'nfi, J3=$2 = kh, %a=jh.
Члены, возникшие вследствие учета релятивности, практи-
чеки не играют никакой роли, и мы их приводили только для
того, чтобы показать, что учитывать их не представляет никакой трудности.
Отбрасывая их, замечаем, что энергия W1 - H1 автоматически входит в
серийную формулу Ридберга. Итак имеем
/oQ4 ___Rh(Z 1
(20) .^я+8)2 >
где
/0,4 8_:____9______г-к'-у Z-ir 3//-&1-iyi
1 J 8Z2k2 2k 8Z2k3 \ 2k ) J
297
Подставляя сюда j=k-\-p и развертывая по стененям -, мы
/?
яолучаем
<22) 8=bZP-k2( Р^ W~) + 8Z2fe8 (Зр2~
Общая энергия возбужденного атома гелия будет:
<23) W= - RhZ2 - .
где Z=2. Этим окончательно решается поставленная задача*.
Формула (zO) должна изображать спектр гелия. Вследствие того, что р может
принимать значения 1, 0,-1, можно установить три системы серий.
Их ридберговские поправки (для Z=2) были бы
р= 1; 8=--32^2(9 -
<24> /=<* 8=6Г^
р=- 1; 4. _j.
На следующей таблице приведены значения Ь для & = 2, 3,4 и значения,
найденные экспериментальным путем:
J. k=2 A = 3 *=-4
(P=l Теоретич.</7=0 fr=-l - 0,063 + 0,014 + 0,078 - 0,029 + 0,004 +
