Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
движения, при 'которых Зр, Нр и, следовательно,-?р, г\р остаются
продолжительно равными нулю.
В отношении устойчивости можно сказать то же, что и в* случае одной
степени свободы. Движение SP = "Чр =0 только тогда устойчиво, когда
квадратическая форма (17) определена. Энергия минимальна, если она
определена со знаком плюс. Итак при предельно вырожденном исходном
движении носящее квантовый характер возмущенное движение имеет степень
периодичности, равную таковой невозмущенного движения. Его энергия-равна
(19) W=V(Ja).
281
§ 47. Фазовые соотношения для любой точности приближения
В § 45 мы оставили открытым следующий вопрос: носят ли квантовый характер
(в случайно вырожденном исходном движении) при любом приближение,движения
со степенью периодичности, равной степени исходного движения. Решение
этого вопроса мы дадим здесь, использовав при этом метод вычислений,
примененный нами для предельного вырождения.
Сформулируем еще раз поставленную нами задачу: нужно исследовать такие
движения механической системы, имеющей функцию Гамильтона:
(1) H=H0(JI)+IH1(J%K)+-•• (?=1.../>
которые представляют собой случайно вырожденные движения невозмущенной
системы, т. е. такие движения, для которых вследствие подходящего подбора
постоянных интеграций исчезают некоторые частоты
(2) (p=s+l.../)
р
Тогда траектория движения невозмущенной системы (в силу постоянства да°)
заполняет собой область только s измерений (s</).
Предположим, что возмущенное движение примыкает к определенному
невозмущенному движению, при котором
' Р ~ Р ' Р W9 '
Тот факт, что У° для исходного движения должна иметь определенные
значения, вытекает из допущения случайного вырождения.
Решая уравнение (2), можно определить У*. Все они будут функциями У°.
Следующим нашим допущением является то, что да(r) для исходного движения
должно принимать определенные дискретные значения.
Итак, допустим, что возможны только отдельные определенные исходные
движения; тогда Ур* и дар* определяются, как известные функции У°; дар
*(Уа) нам еще неизвестно, но мы получим его в процессе наших
исследований.
Введем теперь новые переменные
(3) &°=У°-УР*(У°), ^да°-дар*(У°).
Это производится посредством канонического преобразования с производящими
функциями
(4) 2 дао yf+2 [w°p J*+5" (да° - дар*)].
а р
282
*
Уравнения преобразования запишутся:
1) 2)/W+S°; 3) H>0=>w° + vffite/0 - dw* Y
' • a p p p a a 7W2 p t'dJi)'
(5) 4) = - w*.
Здесь новые Л равны первоначальным Л между тем, как w°a отличаются от w\
на постоянные для невозмущенного движения величины; они имеют характер
угловых переменных и переменных действия. В случае исчезающе малого
возмущения, и ¦*]" стремятся к нулю. Развернем теперь функцию Гамильтона
по т)° в ряд, а именно:
(6) Я=Я'о+Ш'1+Х2Яг+...
Опуская штрихи при wl имеем:
я'о=я00 (Л, y;>+S сг е" 5"+ • • •
(7) М=Я10(<(r);, Д ^)4-S(a^+tfi)р)-Ь...
р
В силу (5) мы имеем:
С°~ 21 д.1\дЛ дН10 VI дН1, dw*
1 д*Нс
00
(8) ар=_^-" +
дГр Zj dwl дЛ <?я10 х^дн,п дЛ
*
ЛР_
1 dwp ? dw\ дЛ >
между тем, как выражения Я00, Я10.. .вытекают из (1) вследствие простой
подстановки вместо J°p> w\> переменных У*, w*t. Таким образом (6) теперь
принимает вполне аналогичную форму (2) § 46, и поэтому здесь можно
производить наши вычисления таким же путем, как это мы делали там.
Единственная разница заключается в том, что к]р в выражение Я'0 вообще не
входят; потому мы делаем предположение
(16) § 46 и находим уравнения для определения А{ и В\ в следующем виде
(ср. (10J § 46):
№^+e'+22'ri,t",°
Из этих уравнений следует, что среднее значение # исчезает.
Наконец, мы получаем функцию Гамильтона в форме
(9) H=V{Ja)+R(J* Л,чя),
где ряд для R по $Р, *]Р начинается с квадратических членов. Для малых
Sp, iQp, которые мы только и имеем в виду, Н разделима и приводит к
единственному следующему решению, удовлетворяющему квантовым условиям
?Р =*]? =0.
Таким образом, возмущенное движение обладает степенью периодичности,
равной степени не возмущенного движения.
В смысле обыкновенной механики оно только в том случае будет устойчивым,
если квадратическая форма qp, т)р (9) вполне определена.
Условие _
(10) Ь\=0
является определением w*p. В силу того, что средние значения
представляющие чисто периодические функции без по-
дНю
dw*
стоянного члена, исчезают, - по (8) следует (1Г
U'Wp
Но это уравнейие дает фазовые соотношения w\. Так как Н10 в наших
обозначениях тождественно с Нг § 45, то это уравнение собственно
тождественно (13) § 45.
Пример одной случайно вырожденной степени свободы мы уже рассматривали
подробно в § 45: теперь только прибавим к нему наши общие соображения об
устойчивости. Уравнение (5') § 45 (Н% обозначает наше #10):
1 &Н0( dS, \2 . ГГ, о. w/
я-ягЬз!)+НЛш*'"'
(для движений в области решения уравнения = 0] равно-
значно уравнению
1 &Н0 е, , , . .
¦< = const.
д*Н,
2! д!)
Если • ? положительно, квадратическая форма для области
dJf
устойчивого решения (//2 имеет минимум) определяется положи-284
