Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
М-1-
'/ IV ]
У/_! ГУ/-11
у L v J
КНИ- [*?]-¦[?]
[ 1 j - [ а 1 . [," !Ы] - [!Ы]
В силу того, что не должно иметь места ни одно из соотношений
^f;+47+---+^v+T/=0
у
за исключением, когда все т равны нулю, коэфициенты при -
V/
должны исчезать:
У-i
ь
¦Xf-1
т
Xf-1-1
= 0.
Если теперь первую строчку разделить на л,- 1 и перейти к переделу xt -
"со, то получим:
V [v/J •••
Ь
1
• [*]- [
Xf-1
V/-1
•ЛУ-1
=0.
Здесь коэфициент при - исчезает. Если разделить первую его строчку на х2-
1 и принять, что х2 стремится к со, то
У
т ¦¦
'Он
У
4v]
1
= 0.
302
Продолжая наш способ исследования, мы придем к следующим уравнениям
V/-1
V/
V/-1
Ь
1
=0.
Но последнее притиворечит иррациональности
V/-1 v/ '
Если точки ряда Q не лежат все в проходящем через Рз линейном (/-2)-
мерном пространстве, т,о мы можем выделить f- 1 векторов Р" Цт,
образующих (/-1)-мерное (/- 1)-ребро. Если мы от конца"каждого из этих
векторов снова проведем все /-^1 векторов и так будем продолжать далее,
мы покроем всю перпендикулярную к OEf (f-1)-мерную грань единичного куба
целой сетью ячеек, стороны которых будут меньше 8.
То же самое, конечно, можно проделать и для других ортогональных к OEi
частей ограничивающей поверхности.
Этим мы доказали, что точки пересечения траектории заполняют
ограничивающую поверхность "без пробелов11; следовательно, прямая
траектория проходит произвольно близко к каждой точке единичного куба.
И. ЭЛЕМЕНТАРНОЕ И-КОМПЛЕКСНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
При исследовании наших проблем мы часто имели дело с интегралами
следующего типа
f R(x,rr-Ах'*-\-2Вх - C)dx,
где R-определенная, реальная функция данного аргумента.. С таким
определенным интегралом мы встречались при вычислении энергии, как
функции J; с неопределенным, - например, при вычислении угловых
переменных. Неопределенный интеграл этого типа берется элементарным
путем. Обозначим нулевые точки подрадикального выражения через et и ег
(е{>е2); тогда подстановка
X-
2
sin ф
с х -
- cos ф
приводит подрадикальное выражение к форме
интеграл таким способом сводится к интегралу рациональной функции sin <Ji
и costy, который всегда можно взять посредством Ф
подстановки u=ig-^. Вид этого интеграла:
/= |*/? 2~ 62 + 6' 2 sin^' 2 е' cos^ T^C0S
Если подинтегральное выражение есть прямая функцня своего аргумента, его
можно также свести посредством подстановки и - tg ф к интегралу
рациональной функции от и. Рассмотрим следующий пример:
1. IV0-2 - х2ах.
Подстановка jc=a sin ф, дает
<Ь , 1
(1) a2J"cos^rf&=^-J'(l + cos2d>)rf24>=
= -L-1 a2 arc sin -4-х У а* - л2
2 [ а
Определенный интеграл по либрации х будет
2к
(2) I2 - х1 dx-a2f cos2 tydh - m
Л
1/1
Посредством подстановок x=sin^ и " = tgty получаем
г cos2& г ; 1_________
Jl-asin2^ * Jl+"2(1-a.) l-\~u2 '
Разложим подинтегральное выражение на частные дроби:
+1-1_______1-1_________.
а 14 и2 а 1 . "
1- а
Вследствие этого неопределенный интеграл будет равен
где при положительном V\-хъ вместо и подставим значение
X
VI- я2
В случае а< 1 интеграл, взятый по либрации х, будет равен
(3) j w--U-VT=a).
J 1 -ах2 J 1-flsina(j) т а '
о
Вычисление определенного интеграла
J = j R {х,У - Ах2+2Вх - С) dx
производится легко с помошью комплексного интегрирования.
Если х представить в комплексной плоскости,' то функции R соответствует
двухлистовая поверхность Р и м а н а с разветвлениями при корнях ех и е2
(е^е^ подрадикаль- у--v
ного выражения.
Путь интегрирования \ 0 у
НЯТЫЙЯРТ ЛИНИЮ ГПРПИ- 1'
ег v -t -t */
охватывает линию соединения обоих корней; на- р .
правление его показано ис' '
на рис. 42.
Интеграл вычисляется легче всего, если путь интегрирования мы разобьем на
отдельные пути, каждый из которых охватывает собой полюс функции. Тогда
лри обхрде пути, избранном нами на рисунке 42, J будет равен сумме
остатков подинтегральных выражений в этих полюсах (остаток равен
увеличенным в 2j"
раз коэфициентам при ---¦ в ряде Лорана, развернутом для
X я0
координаты полюса я0):
У= - [R{x,Y- Ах2+2Вх - С)}.
Рассмотрим некоторые типы интегралов.
Группа 1.
j=Ах2+2Вх -С9 dx =
(4) /--------о---
-^•"У-Д+2
Постоянные А, В и С-положительны. Если имеются нулевые места корня, а мы
это предполагаем, то они находятся на положительной реальной оси.
Отдельные полюсы подинтеграль-ного выражения могут располагаться на я=0 и
я=оо.
Так мы имеем
J=-ЭЧеЦ-*" V-Ах2+2Вх-С Ц
- 3tef00 [а' /- Ах9 + 2Вх-~С9]-
Борн-40В-20 gQg
На рис. 42 ясно изображены для этого случая первоначальный и
деформированный пути интеграции. Здесь полюс х=со лежит на конечном
расстоянии. Корень на реальной оси вне отрезка ех ег является чисто
мнимой величиной. Знаки его +i от е1 до сои-г от-оо до е2. 9tefoo
вычисляется как 9tef0 подинте-грального выражения интеграла, в котором
произведена под-1
становка у= -
' х
В силу того, что при отображении поверхности х на поверхность у обход
пути интеграции сохраняется, мы получаем:
Stef [xV- Ах2+2Вх-С?] =
= - Slie|0[y4'+p+2)/z А+2Яу -Су** ].
