Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
• 1 , • 1 Корень имеет знаки - i от- до у = оо и -j-i от -оо до -
е2 et
а) а - - 1, р=+1.
Сохраняя вышеупомянутое определение знаков, запишем необходимые для
вычисления остатков ряды подинтегрального выражения по л:=0 и _у=0 в
следующей форме: -^('^+фх+-
Следовательно:
У
9tef0 =2тг УС В
9tef=2*
VA
и
J = ф -j/ - Ах*+2Вх -С dx =
(5) ,$yf-A+2?-CrdX.2"(^-/c).
b) а *= - 2, Р =-1
Интеграл для х<= оо регулярный. Разложение в ряд по х-0 подинтегрального
выражения дает
W 1 , В \
'х2 \ i/c iCVC* /
следовательно
п В
ya = (f ij/- Ахг+2Вх - c~l dx
J X
(6) =^э/-д+2 (r)-I '**-** cfa-
с) a=+2, p=-1.
Интеграл для x = 0 регулярный.
Разложение соответственного подинтегрального выражения по У = -~ - 0
равно:
1 Г 1 . В . 1 /* 52 С \ 1J. 1
.У'ЬуА JA/A" 2* \ А^/Л- А/ДГ ' " J Таким образом
9ief0
уТ\Ав A j'
из чего
. г хЧх г -uta
8" J 1/ -Ах^А-ЧПх -С J
у -Ах>+2Вх -С Т у А j 2 Б О
X Х^
/а\3 А2 А/ ¦
Группа 2.
У1 -х2
тdx. Будем различать два случая:
, tVl-
а) Тт=
ах*
1. В случае а<1 полюсы, определенные нулевыми местами 1-ах%, лежат за
пределами пути интеграции, охватывающего нулевые положения корня ±1; в
случае 0<а<1 - на реальных осях. В случае а<0 эти полюсы расположены на
мнимых осях. Интеграл слагается из остатков при
:00.
Корень - положительный и мнимый на положительных и реальных осях и
отрицательно мнимый на отрицательных реальных осях.
Он положительно реален на отрицательных мнимых осях и отрицательно реален
на положительных мнимых осях.
Придерживаясь соответственно этому знаков, мы видим, что
разложение подинтегрального выражения по его полюсу ±|/^- будет
начинаться следующим образом:
307
Остатки для обоих полюсов равны:
Значение обхода вокруг х=оа определится, как
-f Stef,,
1 Уу2- 11
У У*- а J'
У
Так как для положительных реальных значений вблизи нуля корень
положительный и мнимый, разложение функции в ряд начинается
-i±+. а* У '
из чего искомое значение будет - и, наконец,
а
(8)
2. а> 1. Полюсы ± _L лежат в интервале (-1, +1) реальной оси,
следовательно, внутри пути интегрирования. Для полюсов подинтегральное
выражение не может быть прЬинте-грируемо, вследствие чего этот случай
исключается.
(Ь) | Х'~АВ
f(x)\ F{x)
с f(x)={A- х) (х - В), F(x)=f(x)- АСх
Пусть А, В, С будут положительны и реальны, А > В и С так выбрано, что
F(x) может принимать положительные значгния. Тогда нулевые места а, |3
реальны и лежат между А и В. Подинтегральное выражение имеет в нулевых
местах а и р простые разветвления; оно хотя равно здесь бесконечности, но
остается интегрируемым. Простые полюсы лежат при А и В. Обход вокруг х=0
дает некоторое дополнительное значение.
Знаки корня показаны н-fU-W- на рис. 43.
Вблизи А начинается разложение в ряд под-Рис- 43, интегрального
выражения
+г-±=(х-А)-'+...
вблизи В начинается __________
В (х - "v-i_l
лГ
Таким образом остатки будут равны:
7Г-
Использовав подстановку у=-~, находим
Л
[I j АВу2 1 "I
7 (Ay -1) (1 -By)' /(Ду-1) (1 ^ByyZ^ACyJ'
где для положительных реальных значений у вблизи нуля корень имеет знак
+г. Поэтому разложение начинается - у, и можно написать:
9tefoo= +2it.
Следовательно, имеем (9) ^M^-dx=2n (i-I / -- l\
v 5 \/c К лс T
Кончая наши исследования такого типа интегралов, мы рассмотрим еще одну
форму, а именно:
ф R (х, \,г- Ах2+2Вх - С+Х f{xjj dx,
где tf(x) должна играть роль некоторого поправочного члена.
Все наши соображения относительно точек разветвлений, знаков и пути
интегрирования, прилагавшиеся нами при рассмотрении группы 1, и здесь
остаются в силе.
Для того, чтобы взять интеграл, разложим подинтегральное выражение по I.
При этом необходимо иметь в виду, что разложение должно быть
действительным для всего пути интеграции. После этого интегрирование
производится тем же путем, как это делалось выше; разница здесь
заключается только в том, что в отдельных членах появляются точки
разветвления ех и ег и полюсы Л=0, Ху со
а) л-1 _ Ах*+2Вх - С+9- dx-
При достаточно малом D разложение по D = 0 сохраняет свою силу для всего
пути интеграции.
Мы органичимся только членами 1 порядка относительно D:
j/"- Ах*+2Вх -
,-j______________ _J_ D
= Ах*+2Вх - С+(- Ах*+2Вх - С) 2 7jj+...
309
Поэтому получается
т. е.
"щ )
b) и=Ах2+2Вх - C+Dx^dx =
,A+2---2+Dx^. л: л:*
Разложение корня по степеням D дает:
/ - Ах2-\-2Вх- C+Dx3 =
_______________ _i_ Г)
-Ах*+2Вх-С+( - Ах2 + 2Вх-С) 2 ^-х3+...
и если мы ограничимся членами 1-го порядка относительно Д то окончательно
приходим к следующему результату:
D
СОДЕРЖАНИЕ ^
Предисловие.............................................................
3
Введение
Основные физические положения
§ 1. Развитие квантовой теории осциллятора из теории излучения ....
5
§ 2. Общее понятие квантовой теории.....................................
10
§ 3. Представление о строении атома и молекул...........................
15
Глава первая
Теория Гамильтоиа-Якоби
§ 4. Уравнения движения и принцип Гамильтона................. 20
