Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
тельно; вблизи неустойчивого решения (Я2 - максимум) оно неопред елено
совсем.
Если ~2~ отрицательно, то форма для области устойчи-dJf
вого решения определяется со знаком минус (Н2 - максимум) и совсем не
определяется вблизи неустойчивого решения (Н2 - минимум).
Перейдем теперь к рассмотрению случаев комбинаций различных вырождений.
Из того, что и случайное и предельное вырождение, как это было показано
выше, исследуются одним и тем же способом, можно сделать вывод, что они,
очевидно, не возмужают взаимно друг друга.
Увеличивается только число переменных i, ц. ¦
Что касается комбинации собственно вырождения с предельным вырождением,
то она также не представляет никакого затруднения. Вычисляются сперва
вековые движения собственно вырождаемых переменных, затем поступают так,
как в § 46J).
Само собою разумеется, специальные случаи, при которых, например, при
усреднении по невырождаемым переменным совершенно выпадает зависимость от
вырожденных переменных (напр. //,=0), в каждом частном случае исследуют
особо.
Итак, мы Достигли цели, поставленной в § 40, а именно доказать, что
стационарные состояния главный образом имеют место среди особенно простых
типов движений, исследование которых производится сравнительно простым
приближенным методом.
Вооружившись этим математическим аппаратом, перейдем теперь к
исследованию простейшого после водорода атома - гелия. Мы покажем (как
было упомянуто в § 40), что результаты наших вычислений не совпадают с
опытом, но мы нашим примером облегчим путь тем опытам, которые будут
направлены на установление окончательных законов квантовой механики.
§ 48. Нормальное состояние атома гелия
Гелий, как мы выяснили в § 32, в нормальном состоянии имеет две
одноквантовых электронных траектории.
Нашей задачей будет исследовать их конфигурацию в одном атоме. В качестве
невозмущенного движения мы будем рассматривать движение электронов,
находящихся под влиянием одного только (Z-кратно заряженного) ядра.
Пусть для первого электрона угловые переменные и переменные действия
будут wltwitwt, JltJ2,J3.
1 Случай, когда предельно вырожденные степени свободы являются
одновременно собственно вырожденными, исследовал L. N о г d h е 1 m,
Zeitschr. t. Physik, Bd. 17, S. 316, 1923.
285
Эти величины для второго электрона мы будем отмечать сверху черточкой.
Энергия невозмущенного движения запишется
(1)
Н0 = -А
1
Л'2
)
где
А - 2п2 е4 mZ2.
Функция возмущения представляет взаимную потенциальную энергию электронов
Здесь R обозначает расстояние, х,у, z, x?,y',z'-прямоугольные координаты
электронов в какой-либо координатной системе с началом, совпадающим с
ядром. Вводя развернутые картезианские координаты, как функции угловых
переменных (вычисляем из (26) § 22), - мы получаем исходную точку для
всех дальнейших вычислений возмущений. При этом нельзя упускать из виду
еще следующего: при невозмущенном кеплеровском движении (не учитывая
изменения массы) квантотеоретически детерминировано только /" в то время
как Уа, т. е. эксцентрицитет, остается еще произвольным. В случае
кеплеровского движения, при учете теории относительности, J2 также
квантуется и для одноквантового пути
Мы не будем учитывать количественно относительного изменения массы, а
только предположим в качестве исходного пути каждого электрона предельно
вырожденный круговой путь.
Таким способом невозмущенная система состоит из двух круговых траекторий
равной величины. Кроме выраженного здесь двойного вырождения мы ещё имеем
двойное собственное вырождение, состоящее в том, что плоскости орбит
обоих электронов сохраняются в пространстве, а далее, случайное
вырождение, так как частоты вращений электронов равны друг другу.
Взаимодействие электронов в силу теоремы об импульсе вращения
обусловливает возникновение собственного вырождения (разница долгот
узловых линий обоих путей на неизменной плоскости равна всегда нулю).
Однако линия узлов совершает разномерную прецессию вокруг оси общего
импульса вращения.
Предельное вырождение сохраняется и в случае [возмущенного движения
(соображения § 46). То же можно сказать относительно случайного
вырождения (§ 47). Однако возмущенное движение примыкает только к таким
невозмущенным движениям, при которых оба электрона имеют вполне
определенное фазовое соотношение.
В этом частном случае среднее значение энергии взаимодействия имеет
экстремальное значение. Ясно, что этот случай мо-
(2)
286
жет иметь место, если электроны в каждое мгновение отдалены друг от друга
на большое расстояние, т. е. если они всегда находятся в одной и той же
меридиональной плоскости (идущей через ось импульса вращения).
Предельное вырождение
Л - Л-О ¦/,' - ¦/,'=О
требует следующего преобразования (мы приводим его только для первого
электрона)
Л=Л. да, = да,+да2
?=- j/~ AlZ^Lsin 2пда2, >1 = 1/^--^-cos2n да*.
Ниже мы опять опускаем черточки над да, и тогда 2ътюк обозначает угловое
расстояние электрона (в его орбите) от линии узлов; в невозмущенном
