Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Как мы видели выше (§ 14) в случае разделимых систем, траектория
ограничивается рядом поверхностных слоев. В некоторых частных случаях эти
поверхности могут сливаться. Тогда число измерений покрывающейся
траекторией области уменьшается на 1. Это слияние двух пределов либрации
означает третью и, как оказывается, последнюю возможность вырождения. Для
ясности разберем пример.
Рассмотрим относительное кеплеровское движение, т. е. движение по эллипсу
с вращением перигелия. Траектория здесь обыкновенно плотно заполняет
круговое кольцо, представляющее двухмерную область.
Если эксцентрицитет исходного пути исчезает, то ограничивающие круги все
более и более сходятся к одному кругу до тех пор, пока не сольются и
траекторий не превратится в одномерную круговую траекторию. В этом случае
вырождение, как это мы понимали до сих пор, не имеет места. Но угловая
переменная вследствие геометрического ее определения будет
неопределенной, а одна из переменных действия принимает из условия
реальности предельное значение. Например, при наличии относительных
кеплеровских эллипсов в общем случае ? i, J 2 ~ J I'
Этот факт мы будем называть кратко предельным вырождением.
Дальнейшими примерами могут служить нам исследования перпендикулярного к
направлению поля пути при эффекте Зеемана, проходящего полностью по
поверхности эллипсоида вращения проблемы двух центров и т. д.
Для наглядности мы будем заняматься также исследованием круговых
траекторий, эксцентрицитетов и т. д., хотя наши соображения имеют более
общий характер.
Предельно вырождаемая степень свободы будет характеризоваться приводящей
к разделению координатой qf, пределы либрации которой совпадают.
Соответствующая ей переменная действия
J/=§Pf dqf
всегда равна нулю.
Если допустить, что на такое движ'ние, где У/=0, действуют возмущающие
силы, то (не учитывая квантовой теории) в общем
276
случае возбуждается степень свободы qf (ц нашем примере траектория не
остается уже кругом), и фазовый интеграл У/ должен быть отличен от нуля.
По принципам квантовой теории Jf- кратное целое число h; так как оно для
исчезающего возмущения должно переходить в J", то, следовательно, оно
всегда может иметь только значение, равное нулю. Ниже мы увидим, что
единственным решением, удовлетворяющим этому требованию, является такое
решение, при котором У/ также и в случае возмущенного движения остается
продолжительно равным нулю.
Таким образом, возмущенное движение имеет (как при случайном вырождении)
степень периодичности, равную степени невозмущенного движения. Задача
отыскания такого решения связана с чисто Математическими затруднениями.
Рассматривая наш пример, мы замечаем, что функция возмущения содержит
линейные члены относительно эксцентрицитета, следовательно, термы с -/
J°f *). Это, вообще говоря, может иметь место при вырождающейся в пределе
исходной системе. Тогда в выражение '
dw°f _ дН dt - д J°f
1
входят члены с -т= , т. е. при переходе к пределу невозму-v
щенного движения координата да° делается очень подвижной и не имеет
предельного значения. Тогда развертки § 41 не применимы.
Переменные J ^ да° обладают свойством полярных координат; для J°f-0 да°
не определено. Заменяя их "прямоугольными1* каноническими координатами
Пуанкаре2)
(1) ?°=1Л. sin cos 2n w°f
t 7]°a \
(производящая функция tg2nwyj, мы действительно смо-
жем преодолеть выше упомянутое затруднение.
Теперь вблизи J°f=0, да^ может изменяться без того, чтобы ?° и т)(r)
испытывали быстрое изменение.
Вследствие того, что при возмущенном движении J*} отличаются
незначительно от соответствующих им переменных действия Jf= 0, мы можем
5е и т)° рассматривать, как малые величины.
: л^ Я
1 При пользовании [прежними обозначениями эксцентрицитет е=у 1--р
соответствует радиальному интегралу действия Jr-Jx -
Для малых Jr эксцентрицитет очевидно пропорционален у
* Ср. Н. Ро1псагё, Mfcthode nouvelles, Bd. II, Кар. XII.
277
Подставив новые переменные в выражение функции Гамильтона, мы можем ее
разложить в ряд по ?°, ц9 таким образом, что коэффициенты степеней X
расположатся по возрастающим степеням относительно ?°, ц°. При этом ряд
для Н0-энергетической функции невозмущенного движения - в силу (1)
развертывается только по степени ?0> и V3'" так как она зависит только от
J°f, но не от viPf. Напротив, в функции возмущения выступают также
линейные члены. После всех этих рассуждений упомянутое выше затруднение
можно формулировать аналитически. Для невозмущенной системы в силу
?Й° дН0
dt dr,°
яП _______________дн0
е"=о, т)"=о dt д;°
= 0
е"=о, т)"=о,
круговая траектория ?°=0, т)°=0 представляет строгое решение уравнений
движения. Однако это не может быть решением возмущенного движения по той
причине, что в общем случае функция возмущения содержит также и линейные
члены относительно ?°, rj°. С помощью высказанных нами соображений мы
легко находим путь решения уравнений. Если нам удастся с помощью
подходящего преобразования ввести такие переменные ?, -"], чтобы выпали
