Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
будем производить все наши вычисления в первом приближении.
Таким образом в этом параграфе мы будем пренебрегать всеми выражениями,
содержащими I выше первого порядка, так, например, уже У1* будем
пренебрегать.
, Предварительно не будем принимать во внимание собственные вырождения;
тЪгда мы можем угловые переменные и переменные действия wl, Л (к=1,
2.../) невозмущенной системы выбрать так, что v°(a=l, 2...S) будут
отличны от нуля и в тоже время соизмеримы, между тем как v° (p=s + l.../)
для частных значений Л в случае невозмущенного движения исчезают.
Итак, должно иметь место (/-")-кратное собственное вырождение.
Запишем (изменяя индексацию) функцию Гамильтона в форме:
(1) +
269
и попробуем представить постоянную энерию в виде ряда
(2) Г=Г0(ЛЖГ2(Л).
Полагая, что это мы делали выше
S = S0 {w°k, Л)+kS-i (wl, Jk)
приходим к выражениям для ,.S2> в которых знаменатели появляются, а дляХ
= 0 исчезают, т. е. для 1 - 0S уже больше не является аналитической
функцией а.
Болин1 показал, что к цели приводит ряд развернутый по степеням VX .
(3) S=S0+v^ Sl+lS2-\-.. •
Здесь опять (ср. § 41)
=2 "Да-
к
и Sv S2 - периодические относительно w% (период 1).
OS л'
Подставляя -г- для У? в функцию Гамильтона (1), видим,
dwk
что формула (2) тогда выполняется, если считаются действительными
следующие уравнения:
(4") Я0(У,= ^"(У)
(4'>
oJa owa 2! oJkoJ. dwk owj " kj
Из (40) находим В силу периодичности функции относительно wh, из (4J
вытекает
4-°- °-
dwa
dS,
Однако величины -------остаются еще неопределенными.
dwp
Усредняя по невозмущенному движению (следовательно только по wl), из (42)
получаем:
1 д2Н0 dSt dS гг / "ч tv/ / II f,
(5) 2Т / "а Га," ~Го- ~Г1Г+Н2 ("$*= W, (p,a-s l-l • • •/).
z: ,/j oJp OJo OWp OWa r
_________P.(r)
1 В о h 1 i n, t)ber eine neue Annaherungsmethode in der StOrungstheorie.
Bihang till K. Stfenska Vet.Akad, Handl, Bd. 14, Afd. 1, Nr. 5, 1888; см.
также P о in car 6, M6thodes nouvelles, Bd. 11, Кар. XIX.
Применение квантовой теории см. L. Nordheira, Zeitschr. f. Physik, Bd.
17, S. 316, 1923; Bd. 21. S. 242, 1924.
270
Это уравнение! представляет собой тип диференциального уравнения в
частных производных Гамильтона-Якоби. Его в общем случае нельзя
проинтегрировать, и поэтому наш метод делается непригодным для отыскания
движений .для любых значений Л.
Однако, мы знаем, как это показано в примере § 44, что движения, при
которых w° являются постоянными в нулевом приближении и остаются
постоянными также при первом приближении, представляют квантотеоретически
стационарные движения.
Покажем это сперва для одной случайно вырождающей степени свободы -
последней (/).
Уравнение (5) получит форму:
1 д2Н0 ( дБЛ* . тт , <к ТЛ7 (} 2! dJ} {dw}) +Яа(И,/) Wv
Это диференциальное уравнение типа уравнения Гамильтона-Якоби для' одной
степени свободы всегда решается квадратурами, и мы находим:
<6> s.= [4rir*"/= I ¦/•-Uw°¦
2! dJ)
Входящая здесь постоянная интеграла определяется •//=$ J°/dw0f= dw}
+ \f \ <Е dw0/ =
OWf J uWf
(7) =.//(? dw} + / T dw}
J dw}
т. e. оно представляет кратное целое число от h. Из этого следует, смотря
по тому, совершает w} вращение (§dwf= l) или либрацию (§dw}=о)
или
/- г dS. 0
(8) /Т j-^dwf=Jf=nfh.
Подинтегральное выражение на пути интегрирования
d-Wf
всегда положительное; следовательно, в случае вращения для всех w} должно
быть действительным
dS, п
т. е. Нг никогда не будет зависеть от W/. Конечно, в этом приближении об
W/ нельзя ничего_сказать.
В случае либрации Jj и У х должны быть малы и, следовательно, Jf=0, т. е.
интеграл распространяется на бесконечно короткое сечение раздвоения
плоскости w°f J}\ в силу этого либрация сужается в точку. Ввиду того, что
во время движения сохраняет постоянное значение, возмущенное движение
имеет только /- 1 частот, т. е. не имеет высшей степени периодичности по
сравнению с невозмущенным движением.
Значение, которое _имеет во время движения (r)>/, должно быть двойным
корнем W2-Н2 (wу ); следовательно, оно должно удовлетворять уравнениям
<9) W2 = H,(w°f)
и _
<Ю) ^ = °.
dWf
Тот факт, что uPf может иметь только вполне определенные значения,
например, корни (10), означает соотношение фаз в движении системы.
Если таким образом определенное движение действительно будет являться
предельным случаем либрации - а только тогда "но устойчиво, то
подрадикальное выражение (6) вблизи корня w} должно быть отрицательным,
т. е. выражение
1 д*н0
2! dJ)
должно иметь минимум.
Если последнее условие не выполняется, то при этом уравнения движения
• о дНг \о дНъ
wf=-7Tm> Jt =
dPf dw°f
удовлетворяются.
д2Н,
В случае, если-----положительно (как в примере двух
dJf
ротаторов § 44), механически устойчивое движение имеет минимальное
значение Н2.
Но если -Jjr-отрицательное (случай, встречающийся в OJf
атомной механике), то механически устойчивое движение обладает, наоборот,
максимальным значением Hv а механически неустойчивое- минимальным.
272
Сейчас нельзя еще сказать, допускаются ли только механически устойчивые
