Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
разделение переменных. Потенциальная энергия электрического заряда-е,
притягивающегося двумя положительно заряженными точками, равна:
следовательно, в эллиптических координатах:
(4) U=- Kz"+z2) S-(Zi t"Z,) Til.
Кинетическая энергия Г *= -^-(г* + r2<p2-f й2) в силу вытекающих из (3)
соотношений:
я=с ('?)}+?•'])
г (_iL
Г \?2---1 1-7)2 )
243
получает форму:
($W) (бтЁг+i^ ) + (f'2~ D 0 - V) ?а ].
,-v ~ ЧЬ t,
(О) T= -2-
Соответствующие импульсы, сопряженные с координатами 5, у\, у, равны:
- tnr^i
?2- ч*
Я =
Л = J
(6) /"ч =*ис S
/>т = /ис9<р(12-1) (1-7ja).
Выражая Т через координаты и импульсы и прибавляя потенциальную энергию,
находим функцию Гамильтона
(7) - i?[(Z,+Z2) $ -(Z-Z2) т]] j = W.
Отсюда нетрудно заключить, что наша задача легко решается разделением
переменных. Для трех импульсов находим:
Ре = / 2mc\-W) /-А-В, Ь+С?+В1 $3 - ^
(8)
/>" = / 2tTU* (- Г) i-L5 /_Л_5а 7]+С^+52 7]3-^
р(r) = const,
где С-произвольная постоянная и /?" В2 имеют значения:
А- С+ 1 = ------Л-....
2mc*{- W)
/Q\ D _ е* (^1+Zg)
------
d -^г)
2 - •
Перейдем теперь к исследованию возможных типов траекторий, причем
ограничимся отрицательным W и це будем учитывать отдельных предельных
случаев. Не станем также вдаваться в подробности доказательств.
244
I. Пути, лежащие в одной плоскости с центрами1. В этом случае 0,
следовательно, А - С+1 = 0 и ?=1, 71= ±1 представляют нулевые точки
подрадикальных выражений в (8). Будем отличать следующие случаи:
1. Подрадикальноё выражение р% для ?>1, вначале положительно, затем 5
в пределах 1^=1 и ?=?Шах испытывает либрацию.
а) Подрадикальное выражение во всем интервале (- 1, 1) положительно.
Путь находится в!пределах эллипса ?=?таХ (рис. 33).
Ь) Подрадикальное выражение для рч обладает в интервале (-1, 1) одним
нулевым положением. Тогда траектория располагается в некотором
двухугольнике, ограниченном эллипсом ?=?тах и гиперболой 7]= const (рис.
34).
Случай наличия в (-1, 1) дальнейших двух нулевых положений здесь не имеет
места.
2. Подрадикальное выражение при р^для ?>1 вначале отри* цательное, а
затем принимает в интервале -(?min, ?max) положительное значение; тогда ?
испытывает в этом интервале либрацию.
Подрадикальное выражение р-ц в этом случае должно быть положительным на
всем интервале (-1,1). Кривая находится между двумя, эллипсами ?=?min и ?
- ?тах- (рис. 35).
II. Пути, не лежащие в одной плоскости с центрами 2.
Подрадикальное выражение при в лучшем случае положительно в интервале
(?mm, ?max), не достигающем ? = 1. Подрадикальное выражение для' ръ также
точно при *]= ±1 отрицательное; в интервале (-1,4-1) оно может иметь две
или четыре нулевые точки. Наконец р9 отлично от нуля и <р вращается
вокруг линии соединения центров (рис. 36, 37).
1 Подробное излож. см. С. L. Charlie г, Die Mechanik des Himmeis, Bd.
1, Leipzig, 1902, III, § 1 (S. 122).
2 Cm. Y. Pauli jr., Ann. d. Physik, Bd. 68, S. 177, 1922, II, § 6.
245
Во всех случаях, где вообще возможны движения, она движется в кольце
между двумя гиперболоидами вращения и двумя эллипсоидами вращения, ось
которых проходит через центры (рис. 36, 37).
В случае кратных корней гиперболоиды или эллипсоиды могут совпадать; не
исключена также возможность наступления ограниченных движений.
Описанные здесь области заполняются без пробелов, если движение не имеет
совершенно периодического характера. В обоих случаях 1,1 а и b движущаяся
точка подходит к сило-
бречь. Поэтому первый шаг состоит в вычислении движения электронов при
произвольном расстоянии от ядра; затем расстояние до ядра определяется
так, чтобы при условии постоянства переменных действия движения
электронов ядро находилось в устойчивом равновесии. При этом оказалось,
что этими условиями однозначно определяется конфигурация минимальной
энергии, т. е. нормальное состояние (тип на рис. 36, при равнозаряженных
ядрах картина симметрична). Для нее можно вычислить не только значение
энергии, но и колебания ядра, возникающие во время возмущений. Но опыт
показал, что значения, полученное этим путем, не соответствуют
результатам измерений напряжений ионизации и возбуждения. На этом
основании мы не станем подробнее останавливаться на этой модели Н2+. Где
лежит корень неправильности теоретического вывода, пока еще не ясно. В
дальнейшем мы увидим, что исследование атомных проблем посредством
классической механики всегда приводит к неправильным результатам в тех
случаях, когда мы имеем дело с ббль-шим числом электронов, чем в
проблемах трех или многих тел. Вероятно, и здесь на основании малых
отношений электронных и ядерных масс нельзя искусственно сводить проблемы
многих тел к проблеме одного тела.
1 W. Р a u 1 i, loc. cit.
2 К. F. N i е s s е n, loc. cit.
вым центрам произвольно близко.
Рис. 36.
Рис. 37.
Паули1 и Н и с -с е н2 попытались применить эту проблему двух тел к
вычислению положительного иона водородной молекулы. Он состоит из двух
ядер с зарядами +е (следовательно ZX=Z^= lj и одного электрона.
