Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
стороны, эта непрерывность должна всегда предполагаться для того, чтобы
уравнения Г амильтона удов-
4 дН
летворялись в силу (3) и /* = const, wk = -jj-1-{-const, то отсюда
1 Н. Bruns, Astr. Nachr., Bd. 109, S. 215, 1884; C. L. Charlier,
Mechanik des Hlmmels, Bd. 2, S. 307, Leipzig, 1907.
k k,j x a
.^2тс|(т4-а, w*) |
k т a
Усредняя, получаем W2
вследствие чего можно написать
(23)
т
k
или (что то же самое, случай (tv0)=0 исключается)
(24)
(tv")>0 к
255-
следует, что наши ряды не обязательно должны описывать -совершенно точно
движение даже и тогда, когда они непосредственно. сходятся. Эти
результаты исследований Бруна были дополнены работами Пуанкаре Ч
Такие дополнения выразились в следующем:
Исключая некоторые частные случаи,, даже и при условии малости функции
возмущения, вообще говоря, невозможно строго описать движение во времени
возмущенной системы посредством f-крагпных сходящихся рядоз Фурье, и
также нельзя вводить постоянные во времени величины Jk, служащие для
*определения квантовых траекторий.
По этой причине нам не удалось до сих пор доказать устойчивость системы
планет, т. е. доказать, что взаимные расстояния планет и их расстояние от
солнца остаются всегда в пределах конечных неизменных границ и тогда,
когда мы оперируем с бесконечно длинными промежутками времени.
Хотя в нашем приближенном способе вычислений мы и не пользуемся
сходящимися, строго говоря, рядами, однако, этот метод в небесной
механике стал очень распространенным.
Если пользоваться ими с нужной для нас точностью, т. е. •останавливаться
на. соответствующем для нас члене, то с помощью их можно опйсать
достаточно точно движение возмущенной-системы, хотя и не для произвольно
больших промежутков времени, но практически очень продолжительных.
Уже из этого видно, что таким путем невозможно обосновать факта
абсолютной устойчивости атома. Но мы не станем останавливаться на этих
затруднениях и в качестве опыта произведем вычисление энергии с той
целью, чтобы проверить, сходятся ли и здесь результаты вычислений с
данными опыта, жак это имело место в небесной механике.
§ 42. Применений к агармоничному осциллятору
В случае только одной степени свободы можно всегда найти решение
уравнений движения с помощью квадратуры (ср. § 9); "о часто это
достигается простым методом приближенного вычисления, рассмотренным в §
41.
Возьмем в качестве примера исследованный уже нами элементарным способом
агармонический линейный осциллятор при условии малого отклонения от
гармоничности. Его функция Г а мильтона имеет форму:
О) Я=Я0 + ХЯ1+Х2Я2+...,
1 Н. Рохпсагё, MSthodes nouvelles de la mecanique cfileste, Paris,
1892-99, Sd, I, Кар. V.
256
Ht=bq\
Угловые переменные и переменные действия гармонического осциллятора
невозмущенного движения мы получаем (ср. §7) с помощью канонических
преобразований при наличии производящей функции
V(q, w°)= ш° q2 ctg 2 я ш°
посредством уравнений
/ 7 Г (и°/и
0=1/ -°-sin 2rkcu°;/7=1/ ------------cos 2п'гг>°.
у 7№°/ге у п
Выражая Н через w° и У0, имеем:
//0=v°y°..............................(2tive = e>0)
(3) Н. = а\/ \ sin3 2пда°
' У тс (и /и
/ \2
Hn = bl -s- J sin42 тш°.
OS
Теперь определим Wt(J) и ^ из уравнения (9) § 41, а именно:
(4) Г, = Я, = О
лс а / 7 3
(5) sin3 21Ш(r).
Отклонение от гармонической связи по виду энергии установить нельзя, но
зато движение получает дополнительный член, обусловленный наличием
Чтобы получить дополнительную энергию, продолжаем наши вычисления.
Из уравнения (17) § 41 мы находим
dS2 дН1 dSt
Вычисления дают
(6) W^-Ща*--------^т-+f А-•
^ ' . (2тс)в v° тъ (2it)4v° тъ
Член пропорциональности а2 вполне отвечает нашим прежним результатам (9)
§ 12.
Из (5) мы можем также вычислить отклонения влияния от гармонической
связи. Получаем
(7) 5,. "/2/
(2rc)4j/"v° \rtn и
1 2
¦g" sin2 2tcw° cos 2я(r)°+ ¦g- cos 2im°
w=-~= w°-\-------------- ~--------^ (sin2 2^(r)° cos 2icw° = 2 cos 2kw°),
0J (2и)4/v° /m
= = /---"T-]/ ,1 /0-sin3
dw° v° V 2it2 v°/n
Рещая первое уравнение относительно w° и делая подстановку значений w°,
J° в уравнение
f Jo
<7 = 1/ 2 n-sin 2п'щ;0
p 2n2v°/n
получаем посредством элементарных вычислений результат (11) §12:
/ / у
(8) <7 = 1/ о о n-sin 2т:да - 1а --5-(З+cos 4тстеЛ.
V 271b°/п (2тг)4 v° /и2
В качестве более сложного примера приведем еще вычисления
пространственного гармонического осциллятора или любой системы связанных
осцилляторов1. Функция Гамильтона для него запишется:
(9) H=H0+\Hl+VtH,+...,
rr V,/ 1 2 . т о(r) з
где
(10) H^^akql+^ayqlq; +? amqkqj q,
k kj kjl
1 M. Born u. E. Brody, Zeitschr. f. Physik, Bd. 6, S. 140,
1921.
258
- Qk^r2 (bkjtJkQj -\~bk/(j\(Jj ) + kj
2
~b X?pb)i<ik Qj qi +'^ibnjimqk qj qt qm.
kji kjlm
При этом необходимо сделать оговорку, что различные индексы обозначают
различные числа 1, 2...,/.
Сауо собой разумеется, коэфициенты обладают теми же свойствами симметрии,
что и произведения q.
Будем считать, что v* несоизмеримы.
