Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
262
Если вместо w°, У° написать снова w\, У(r), то мы придем опять к уравнениям
(9) (17) и^вообще к (18) § 41. Решение дается не-
дН
много иным путем вследствие того, что величины -s-v-1 исчезают.
(JJ р
Решив уравнения (11) § 41:
,о* dSx п
(3) 2лЖ 1'
где Н1-Н1 - Ну - периодическая часть]функции Hlt мы видим, что S}-
аддитивная функция Rt- остается неопределенной, зависящей кроме Ук еще и
от w°.
Определим ее в первом приближении. Функция имеет вид
(4) 51 = 51°+/?1
где 5,° - есть известная нам функция.
Подставляя теперь это выражение в уравнение (17) § 41 первого приближения
(Ч) УдН° dS* I VI ^0 dSt dSt уая, I и У?
/ I д Ja dw° / ,2 dJkdJ) dwj 2* 2
a kj k
мы видим, что члены, содержащие S,0, можно рассматривать, как известные
величины, в то время как члены с /?, еще неизвестны и (17) § 41 принимает
форму
V Ш*. ф(и. ,)+ 4-1 iJL "L_ w ,У,
2j dJ. Л": [ " ,,+ 7j d', dw° "
" P d2H
Необходимо отметить, что коэфициенты 0 квадратиче-
(jJhoj j
ской формы в диференциальном уравнении только тогда отличаются от нуля,
когда У* и У/ принадлежат Уи. Из уравнения (6) можно отыскать W2(J), Rt и
часть 52° функции S2.
Обозначая одной чертой среднее- значение по единичному кубу "^-
пространства и двумя штрихами среднее значение по единичному кубу общего
^-пространства, получаем:
(7) Wt{J) = ?.
Далее
SfdH^dR1=_^
(8) 2ildJ? dw°?
где р
Ф = Ф-"Ф.
Уравнение имеет тот же вид, как и (3), вследствие чего решается тем же
способом. Наконец, мы имеем
дН0 dS2
Отсюда находим
(Ю)
где S2 - известная функция wl, Jk и Rt - пока еще неопределенная функция
w°, ./*.
Теперь будем продолжать исследование дальше; . первым долгом находим
W9{J), и часть S3° функции S3. Резуль-
тат представляет развернутую в ряд энергию
Высшая степень приближения дает периодические колебания wl и Л, амплитуда
которых представляет величины порядка X (максимум).
Вековые движения w\ Jl не имеют места. Метод исследования,
употреблявшийся нами до сих пор, становится непригодным, если
тождественно (относительно w°p, У°)
(очень часто встречающийся случай). Более точное исследование показывает,
что вековое движение w°p и дополнительная энергия W2 вытекают
непосредственно из уравнения Гамильтона-Якоби. Последнее легко получить,
подставляя найденное из (3) выражение для St (5) и усредняя полученное
уравнение по невозмущенному движению *. Вообще говоря, могут встретиться
особенные случаи, напр, вековое движение, определяемое формулой (1),
снова само будет вырожденным вслед-
dw\
ствие, скажем, наличия соизмеримостей между величинами •
Тогда вековые движения в первом приближении вырождаемых еще переменных
определяются с помощью приближенных вычислений.
Наш приближенный метод исследования § 41 может оказаться непригодным и
при отсутствии наличия собственного вырождения невозмущенной системы, а
именно если для частных значений /Ъ, которые он принимает в случае
невозбужденного движения и которые определяются квантовыми условиями,
существует соотношение вида:
но выорать'так, что для каждого из частных значений Jk частоты
1 См. М. Born u. W. Heisenberg, Ann. d. Physik, Bd. 74, S. 1, 1924.
dl)
tfj = о
§ 44. Пример случайного вырождения
(1)
264
Vp исчезают (p=s+l •••/), а частоты va (a= 1, 2.. .s) - соизмеримы. При
невозмущенном движении, как уже говорилось, У(r) также определяются
квантовыми условиями. Таким образом случайно вырождающие степени свободы
подчиняются квантовым условиям, в то время как собственно вырождающие не
подчиняются им. В астрономии случайное вырождение представляет редкое
исключение, вероятность его точного совершения почти равна нулю. Оно
имеет место приблизительно, напр., при возмущениях некоторых малых планет
(Ахиллес, Гектор, Нестор), обладающих почти равным с Юпитером периодом
вращения; напротив, в атомной механике, где У? могут принимать только
дискретные значения, случайные вырождения являются очень частыми.
Исследуем основные свойства случайно вырожденной системы на простом
примере '. Представим себе на одной оси два ротатора, обладающие моментом
инерции А, расположение которых определяется двумя углами <рг и ср2. До
тех пор, пока отсутствует их взаимодействие друг с другом, они вращаются
вокруг данной оси равномерно. Угловые переменные и переменные действия
определяются из уравнений:
Wi= |^, У?=2тсрх
(r)2= jk, -^=2яра Р\ и Рг-импульсы вращения. Энергия будет равна
(2) (^+Уа°2) = ^0.
Если У? и У" определены квантовыми условиями, то обе частоты вращений
всегда соизмеримы; в частном случае, если J\ = У°, они равны. Допустим,
что возмущением этого движения является взаимодействие ротаторов, момент
вращения которых пропорционален sin -<р2); тогда энергия будет равна
(3) Я=Я0+ХЯ1, где
(4) Hi- 1 - cos 2тс (w° - wi)
и X определяет степень связи. Здесь мы можем проблему возмущения решить
совершенно строго.
1 М. Born u. W. Heisenberg, Zeitschr. f. Physik, Bd. 14, S.44, 1923.
265
Во-первых, выполним канонические преобразования:
