Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Борн М. -> "Лекции по атомной механике Том 1" -> 81

Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.

Борн М. Лекции по атомной механике Том 1 — ДНТВУ, 1934. — 315 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipoatomnoyfizike1934.pdf
Предыдущая << 1 .. 75 76 77 78 79 80 < 81 > 82 83 84 85 86 87 .. 100 >> Следующая

9, S. 92,1922.
248
§ 41. Возмущение невырожденной системы
Уже проблема трех тел, а тем более проблема многих тел принадлежат к
таким задачам механики, решить которые невозможно с помощью разделения
переменных; и вообще говоря,, решается они трудно. В таких случаях
пользуются методом последовательного приближения. Этот метод применим,
если в функцию Гамильтона можно ввести параметр к так, что-она для Л=0
переходит в функцию Г амильтонаЯ0 некоторой проблемы, решаемой способом
разделения переменных. Кроме того, ее можно развернуть в ряд
(1) //=//о-ЬХ//1-4_Х2//2 -f- . . ..
сходящийся для достаточно большого интервала значений координат и
импульсов.
Проблемами этого типа занимается небесная механика, пользуясь при этом
приводящими к решению методами, носящими общее название теории
возмущения. Дополнительный член \Н^-\-У?Н2+ можно рассматривать, как
член, обусловленный "возбуждением" движения, -определяющегося членом Н0.
Квантовая теория рассматривает многопериодические решения проблемы
движений. Методы, которыми мы в дальнейшем будем пользоваться для решения
этих проблем, в основном будут являться методами, изложенными подробно
Пуанкаре в era работе "Methodes nouvelles de 1а mecanique Creleste", 3
тома,. Париж, 1892--99).
Под решением мы понимаем здесь, как всегда, нахождение-функции действия
S, дающей канонические преобразования
. dS ds
ft-Jf,' w'-STt'
что сводит первоначальные координаты и импульсы к угловым переменным и
переменныя действия. Предположим, что проблема невозмущенного движения
решена, и далее допустим, что-это движение является невырожденным. Таким
образом мьг предполагаем, что между частотами невозмущенного движения не
существует никаких целочисленных соотношений формы
(2) (vct)=v1°t1 +... + v(r) у = О
ни тождественно между переменными действия Л, ни для частных значений Л,
характеризующих исходное движение.
Введем теперь угловые переменные илеременные действия т\,Л невозмущенного
движения, как определяющие элементы в функции Гамильтона возмущенной
системы. Они принимаются здесь уже не в качестве угловых переменных и
пере-
24"
ценных действия, а как канонические переменные. Более того, "3
канонических уравнений
* ~ о' к- л г°
awk oJk
непосредственно видно, что У* зависят от времени и что w\ -больше не
являются линейными функциями времени. Для \ = 0, И переходит в функцию
Гамильтона Н0 невозмущенной системы, зависящую только от Л:
ВД, Д...).
Угловые переменные и переменные действия возмущенной •системы для Х=0 так
же точно переходят в таковые невозму-.щенной системы.
Для того, чтобы их отыскать, определим производящую "функцию канонических
преобразований S(w\ J)
.оч 7о dS dS
^ dwl
переводящих переменные w°, Jd в новые переменные w, J. При этом
необходимо выполнение следующих трех условий (ср. § 15):
(A) координаты положения системы суть периодические функции wk с
простым периодом-1,
(B) Н переходит в функцию W, зависящую только от Jk.
(C) S*=S- ^wkJk периодична относительно wk с периодом 1.
к
Следовательно, прямоугольные координаты системы предоставляют функции w\
и wk, т. е. периодный параллелепипед •wi - пространства отображается в
такой же wk-пространства. Если не принимать во внимание произвольного
целочисленного линейного взаимного преобразования wk с детерминатом +1,
то:
(4) да*=да*-4-периодическая функция wl (периода 1).
Из этого и из (С) мы можем сделать заключение, что и,
S - Jk - также периодическая функция w\ с периодом 1.
к
Наоборот, полагая S - s?^Vk периодической функцией отно-
к
-сительнно wi с простым периодом 1, из
dS
dJ"
•следует уравнение (4), а значит и периодичность S*. Ввиду того что
координаты положения системы мы заранее задавали, как периодические
функции w%, то они будут также периодическими функциями wk.
Следовательно, имеют место условия (А) и (С).
250
Развернем искомую функцию 5 также по X
(5) 5=5'0-(-XS1...
При этом So является, производящей функцией тождественного
преобразования, следовательно (ср. § 7) имеет вид
(6) 5" = ^°Л.
к
и Sx, S2... периодические относительно w%.
Наоборот, любая функция S, обладающая этими свойствами, приводит к
переменным, удовлетворяющим условиям (А) и (С). Подставим разложение 5
(5j в уравнение Г а мильтон а-Я к о б и возмущенного движения
<7> Н'{Щ+Ш'( <?>)
и развернем также W по X:
W= W0 (7)+W1 (J)+l2 W2 (У)+- ..
Сравнение коэфициентов равных степеней X дает некоторое число
диференциальных уравнений.
Во-первых получаем (8) H0{J)=W0{J),
т. е. W0 получается из энергии невозмущенного движения, если заменить У*
на У*.
Мы будем называть 1F0 нулевым приближением энергии.
Уравнение для первого приближения мы получаем, уравнивая множители при X.
<9> Ужщ+н'^'-')='х'м
k
где H0(J) и Hl(w9, У) нужно понимать так, что в //0(У°) и H^w0, У0) при
неизменной форме функции У0 заменено на У. Из этого уравнения можно
определить обе неизвестные функции W, и St.
Ввиду того, что St должна быть периодическая относительно wl, то среднее
Предыдущая << 1 .. 75 76 77 78 79 80 < 81 > 82 83 84 85 86 87 .. 100 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed