Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
t2, пересекают друг друга, вследствие чего при соизмеримости частот
вращения векторы и г2 приближаются друг к другу произвольно близко, и,-
значит, импульс вращения ф делается произвольно малым.
Если же частота оборотов по эллипсу относится к обеим другим частотам,
как отрицательные числа, то электрон подхо-"дит к ядру произвольно
близко.
Такие движения мы уже в силу наших основных положений исключили.
Правда, в дальнейшем, при выводе квантовых условий, мы
увидим, что такие пути можно свести адиабатически к путям,
характерным для эффекта Зеемана или для явления Штарка, .исследованием
которых мы занимались выше.
Перейдем теперь к рассмотрению энергии возмущенного движения и к
установлению стационарных состояний. Под влиянием обоих полей (c) и § к
энергии W0 невозмущенного движения присоединяется*еще один член (3)
<15) иг1=е.г<?+
Выражая г и $ по (11) через их,, получаем
) (r)'+ 4Ее К ^ &
и если по (13) ввести вектора и tvn, то имеем:
(16) = + - ttm)}'
.240
Определим теперь частоты v' и v*, как
(17) v' = H
2гс
_1_
2гс
после чего энергия приводится к форме
(18) Wx = v' У' -f- v" У",
где У' и У" имеют значения
У'
У" =
1 ?!L 2' К
L
2 ' К
cos (r15toe+toj cos(t^,toe -toj.
Поэтому в силу (6) и (10) можно написать:
(19)
•/'=-^--/C0S(ri, IfeTHuJ
1
/"=y/cos(r2, ш.
Так как у' и v" в уравнении (18) постоянные, то из формы этого уравнения
следует, что У' и У" -г- переменные действия, сопряженные к угловым
переменным
w'=Vt + V
w'eV'f + 8V
Итак, все условия для периодичности § 15 выполнены совершенно,
следовательно, величины У' и-У' определяются квантовыми условиями
J'-n'h У" = nnL
Это обозначает, в несколько измененной форме, пространственное
квантование, в то время как по (19):
__ ^
COS (tj, =2 -
tl
COS (t2, = 2
n*
Квантовые числа "' и п", как мы видим, на этот раз ограни-
( п п\ п
чены интервалом I-2,~2J слУчае исчезновения магнитного поля ф появляется
вырождение, так как тогда
V = V = V".
Борн-40#-1*
241
Поэтому вместо У' и У* вводится старая переменная действия Уе=У'+У" и
получается
r^V.-Уе
в соответствии с прежними результатами. Совершенную аналогию мы имеем при
одном только магнитном поле
Если одновременно с конечным электрическим полем _вклн> чить слабое
магнитное поле, то оси вращения векторов г, и г2 будут иметь почти
противоположные направления. Из того факта, что при исчезающем магнитном
поле сферы, описываемые векторами rt и г2, не могут сливаться (это
обозначало бы при эффекте Штарка, что $=0), можно сделать заключение, что
они не пересекаются при слабом магнитном поле.
Однако при адиабатическом увеличении ф угол раствора сохраняется, и мы,
наконец, приходим к точке, где сферы встречаются. То же получается, если
исходить из конечного магнитного и слабого электрического полей. Оси
вращения имеют при этом почти одно направление, и сферы не пересекаются,
но при адиабатическом увеличении @ они в конце концов встретятся. Таким
образом, мы можем траектории свести к таким, по которым электрон может
подходить произвольно близко к ядру. Дать сейчас объяснение этому
затруднению еще невозможно. Можно лишь предполагать, что У при
рассмотренных нами здесь адиабатических изменениях не будет строго инва-
риатна, так как мы все время имели дело с состояниями, при которых всегда
были на лицо между частотами (нетождественные) соизмеримости (случайные
вырождения см. § 15 и § 16).
§ 39. Проблема двух центров
Параболические координаты, в которых легко описать движение электрона в
водородном атоме, происходящее под влиянием электрического поля методом
разделения переменных, представляют частный случай эллиптических
координат. Последние допускают разделение переменных, вообще говоря, для
движения одной точки, находящейся под влиянием двух неподвижных силовых
центров, притягивающих ее по закону Кулона. Удаляя один из силовых
центров на бесконечность, увеличивая при этом соответствующим образом его
силу, мы получаем случай эффекта Штарка; эллиптические координаты
переходят при этом в параболические. Если 2 с-расстояние двух неизменных
точек F{ и F2, то эллиптические координаты ?, т) точки связаны
242
с ее расстояниями гх и л2 от этих неизменных точек посредством уравнений
(1) 71=^"2 г,=с(?-7)).
Из этих уравнений очевидно, что всегда
(2) e^i,
и что поверхности S=const эллипсоиды вращения с большими полуосями и
фокусами Л и /=,; далее видно, что поверхности •"]=const представляют
двухсторонние гиперболоиды вращения с 'расстоянием вершин 2 с-"] и теми
же фокусами. Для однозначного определения точки необходимо задать третью
координату, напр, азимут ср относительно прямой FiFi.
Запишем уравнение выше названных поверхностей вращения в цилиндрических
координатах (г, % z), где FXF%-ось z, а их начало делит отрезок FXF^
пополам. Тогда мы имеем
22 Г2
- -L -. . -с2
z2 г% .
7]2 1-7]2
Из этого следуют уравнения перехода
Z2=C2?2 7J*
(3) r2 = c2(S2-1)(1-ij2).
Сейчас мы покажем, что "проблема двух тел" в этих координатах допускает
