Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
значение суммы (&), распростра,ненной на единичный куб w° -пространства
или по невозмущенному движению во времени, равно 0. Тогда из (9) следует
(Ю) ' W^J) = Hx{w\ J),
где Нх также усреднено по временному изменению невозмущенного движения.
Таким образом, мы имеем для Wi выражение,
251
полученное из вычислений вековых возмущений, хотя здесь были сделаны
совершенно другие допущения, а именно, что невозбужденное движение не
есть вырожденное. Здесь мы также^можем высказать следующую теорему:
энергия возмущенного движения в первом приближении равна энергии
невозбужденного движения, увеличенной на среднее по времени значение
первого члена функции возмущения по невозбужденному движению. Итак, для
определения энергии в этом приближении достаточно только знание
невозмущенного движения.
После вычисления (У) для Sx мы имеем уравнение
где знак-над Нх поставлен для того, чтобы не путать этой функции с ее
средним значением
Нх мь! будем сокращенно называть "периодической частью" Нх. Ее можно
записать в виде ряда Фурье с постоянными членами (что помечено индексом
при знаке суммы).
то неизвестные коэфициенты Bz (У) можно выразить из (11) через известные
A\'(J). Тогда получается
Следовательно, >°(У) из частот(У0) получается благодаря тому, что вместо
У* мы подставили Jk.
Так.мы получаем решение (11)
При этом здесь не исключена возможность появления произвольной функции,
зависящей только от JK. Для угловых переменных движения в нашем
приближении мы получаем
о . dSx(w°J)
(Н)
НХ = НХ-НХ.
НХ = ^А, (У) e2ri(xwt)-
Если представить Sj также в виде ряда Фурье
SX=^B, (У) еы
т
2т (у°т) В~ (У) =А Т(У),
где мы положили
(12)
(13)
Т
из чего находим wk, как функций времени. На невозмущенное движение
накладываются малые периодические колебания, амплитуды которых - величины
порядка X, следовательно пропорциональны возмущенным силам, между тем как
частоты, от которых невозмущенное движение отклоняется мало, равны
(15) =
oJk
Для fk мы имеем
(16) fk=Jk +x-ggffi/>
dwk
т. е. и постоянные j\ в невозбужденном движении испытывают малые
колебания с амплитудами величин порядка X. Так называемые вековые
возмущения отсутствуют, т. е. изменения постоянных в невозмущенном
движении имеют порядок их собственных величин, что мы имели в случае
вырождения невозмущенного движения (ср. § 18).
Нужно отметить, что предположение невырожденного характера невозмущенного
движения является необходимым допущением, в противном случае выражение
(13) не имело бы никакого смысла, так как некоторые из знаменателей (xv°)
исчезали бы. Но мы видим далее, что и при отсутствии такого вырождения
знаменатели могут быть бесконечно малыми, если только выбрать
соответствующим образом числа т,.. .if. И это возможно бесконечно часто,
если т* изменяются от-оодооо. Этим самым ставится вопрос о сходимости
ряда Фурье (13), но к нему мы вернемся еще в конце параграфа, а теперь
будем продолжать пока формально-приближенное исследование.
Из (7) посредством сравнения коэфициентов получаются дальнейшие
диференциальные уравнения, из которых мы приведем здесь второе
(коэфициент при X*) и я-тое (коэфициент при Xе):
(17)
V Ш* +Vi. д'н° . dS*
2л dJk dw\ 2ml 2! dJkdJj dwl dw°
k k,j
k
ЪдНо dSn . V 1 d*H0 Y dJ^dS ZldJt 8wl Zj2! dJ"dJf 2j dwldw]
k,j p+g=n
dSv dS0 dSr dwl dw°j dw\
V" 1 д*Н0 V dSv dS0 dS, 2л 3! dJidJjdJl 2j
k,j,l p+q+r=n
258
Все уравнения можно записать в форме
(19) у ^ wn (J) - Фп (wV),
/ 1 oj^ OWk
к
где'"Фи-известная функция, периодическая относительно да0 и 5, и Wn-
искомые функции. '
Поступая здесь так же, как мы делали и прежде-усредняя по изменению
невозмущенного движения во времени, мы имеем
(20) Wn(J) = <l>n(w4)
и - dS.
(21)
о
Ф,
dwk
k~
где Фп обозначает снова "периодическую часть" функции Фп. Если написать и
здесь правую сторону в виде ряда Фурье
Ф"=5Га, (/)"?*"* <**¦>,
в котором нет ни одного постоянного члена, то интегрирование (21) дает
(22)
Этим и решается формально поставленная задача. Для того, чтобы точнее
изучить наш метод исследования, проведем вычисления, выражая W2 через
коэфициент ряда Ф у р ь е для функции возмущения. По (13) имеем
V 1 Лт
X""V
где Лт-коэфициенты ряда Фурье для//, и член т1=':2=...= = ^=0
отсутствует. Уравнение (17) запишется теперь следующим образом:
Перейдем к вопросу о сходимости полученных этим путем рядов.
Первым долгом нужно решить, нарушает ли сходимость ряда факт малости
знаменателей (tv0) или это компенсируется такой же малостью числителей.
Брунс1 показал, что решение этого вопроса вполне зависит от
теоретического характера отношения частот v,°: v2° :...: wf°. Он
установил следующее положением те значения периодов Vj,0, для которых
ряды абсолютно сходятся, и те значения, для которых ни один из отдельных
членов ряда неравен нулю, располагаются произвольно плотно. Если Vj°
будут функции Jt, то из этого следует, что функция S, построенная по
нашему методу, не является непрерывной функцией Jk. Но" так как, с другой
