Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
(5) а1=хУ(2У^ +У9); Ь1=2*У]/У1: (У5 -}У? )
а2 = хУ (2УТ| +Ур); b2=2v.J Y(У, -|-У? ).
Так мы получаем:
^ ___________2rfS-S___________
^"/ -х2У*/г+2х (2Л +Л ) Л2-^4
________ТГ)*Т)
-х*/|/"+2х(2/11 +У9 )/т)2 - и для и/е , и/,, щ/9 находим:
2яич =2^r(&isin<l,+&2sinx)+'l,+n.
(6) .2т"ч = 2^7^ (^i sin "in Х)+Х+ я
= 2^(Mn*+MnZ) +
Ф+х х/?у/ Г d'b__________г_____а?х____
2 2 I J cos<j> Ja2+b2cosx
\o 0
Произвольные постоянные этих выражений мы определим так, чтобы конечный
результат имел наиболее простую форму. Производя сокращенную запись
^=1/лТЛТЛ)-",;
222
+ср + 1Г.
мы получаем
^ 2тше =oj sin <1>+о2 sinX+ty-fn
2-kw-^ =Oj sin (J>+os sin X+х+я.
Сходство этого уравнения с (15) § 22 ясно указывает аналогию между ф, 1 и
эксцентрической аномалией. Теперь мы можем без особенных затруднений
произвести разложение в ряд Фурье координат z, x-\-iv.
?2____а
В силу (2) § 35 z=-. Так как z не зависит от <р, то оно не зависит также
и от ; вследствие этого можно записать:
(8) ' причем
1 1
(9)
Л Г С - Ч* ~Ы № +Т1> (r)п ) , .
Ац т-п = I I -^-е к 4 dwt dwч
о о
Из (7) теперь следует:
(10) dwKdwri==^^^-d^dx=
= ~^~г (1 +°J COS ф +о2 COS X) dX.
В виду того, что по (4) и (5)
" а,-аа b, cos Ф - Ь2 cos х ,,, , ч
z = ~2 ---- 2- - = ( _ t(r)1 C0S - агcos *) "
имеем:
2* 2л
(11) (о, cos 4> - oacosX)]x
О О
3
X (1+0, C0S(1)4-02C0SX)=2X-/C^-^)-
Для остальных значений ЛТ? т1), для которых оба т равны нулю, можно
постоянный член *J(U-Л) ПРИ 2 отбросить заранее, так как он исчезает на
основании (9).
Итак, (т5 =т);
2л in
(12) Ач tl) = j fdtydx (9t cos Ф-o2 cos X) x
о 0
X (1 +", cos <Ног cos x) e - sia Ф - ,Ti) X - (tm) sin г,.
223
Заменяя в уравнении cos <|>, cos х через и е1*
мы видим, что интеграл правой стороны распадается на сумму произведений,
каждый член которого имеет форму: *
3"(р)=^/^*_,пф+'р,1аф-
о
Как известно, это функция Бесселя1.
Таким способом из (12) получается следующее выражение.
(13) Ат^ ^ =-- (wi> $ гг] (хо*) °iS (T3i)8^T| (Таг) j I
где предварительно были использованы соотношения:
^-[^-1 (р)(р)]=|-s"(p)-3'"(p)
и
Off
За -1 (р) +3л 4-1 (р>)= у 3" (Р) •
Наконец, для г вытекает
4- оо
(14) в=|*7(У?-Л ) j 5 Ю $4 (то*) "
- оо
(Черточка возле знака суммы обозначает, что те =тТ) =0 исключается во
время суммирования). Для т=0 выражение (13) делается неопределенным, а из
(.12) следует непосредственно, что соответственные Ач ^ Дч +t, =0)
исчезают.
Для того, чтобы вычислить разложение в ряд Фурье x+iy, используем (2) §
35.
(15) x-f
Из (15) и (3) или (6) мы заключаем, что {х-\4y)~e~iKlw<( зависит только
от Wi и ш,. Целесообразно развернуть (x+iy)e**i(w-n-w?) в ряд Фурье
(16) (х Ну) е(tm) ("ч - "? > = 2 вч е(r)*/ 1ТЕ n +(^ +1> "ч Ь
1 Е. J а h n k е u. Т. Е m d е, Funktlonentafeln, Leipzig, 1900, S. 169.
224
Для того, чтобы записать величины левой стороны (16), как функции от ф и
х. напишем из (6)
2я(дач-= -1-+^ -? +
л.ИИ([________d* + С dl
^ 2 \ J cii+b1 cos^ J at+b2 cosx \0 0
Если положить ______
с- ^a\ - b\='/al - b'i-y.Jo J,
то имеет место уравнение:
f Ф <Ь V'*
(a.+ fcjcosj +ic sin А
О7) с С___________'*Л___________________________________"п0Л___^
J cos ф к (ai+bl)(ai+b1costy
О
fz X
(fl,+ft,)cos^+icsin^
? I - . ------ ^_ I ЮР"__________ __________
J аг+Ь2 cos х {a2+b2){a2 + b2 cosx)
о
и, следовательно,
(18) (jc-fiy) ehl (wr, ~w'?) =
- e' V* ^2 /
j(<*i + &i) cos |+icsin|J j(a2+fca)coS' +/csin||
/ (ai + bi){a2+bt)
Отсюда можно сразу вычислить В* т (здесь необходимо положить 1 + те+тч
=т).
2 к 2я
(19) в, - = ( - !)• ^g>Ь^-2Л]?*) Г Г(l+oj cosф+о2 cosx)X 'Е 'ч 4 4тс2
J J
О о
х (cos i +i -4тг sin о Vcos ^ +* sin о)х
\ 2 "!+&! 2 Д 2 а2+Ь2
X е" *' (ч ф ~l sin ф ^ + г)7- ~iv* *1а~Щ dL
Точно так же, как это мы делали в уравнении (12), здесь
Ф
можно величины соэф, cosx. cos^ и т. д. разложить на экспо-
тенциальные функции и этим самым представить Вч т , как сумму
произведений функций Бее се л я. Аналогично тому, как мы определяли ,/Ц т
, имеем
(1___________________
(20) Ti) = -Jy V {J +У(р)(/1) ) S-r (TOi)S^Ti (T02)
7 ^ ^ '3^+1 ('c(r)i) St,, +i('c°j)| .
Для т = 0 величину Яг, т можно вычислить непосредственно из (19).
Получается В^ =0, для т=0, исключая значения
3_________________3_____________________________
(21) 5-i(o = ~2 ~V-А (J-ц -ЬУр)! Д>,-1 = у V Л (У^ -ЬУ<р) "
Наконец, находим для x+iy ряд Фурье
(22) л+гу = |- *У2 (у /Л (Уч +ЛТ в(tm) ('"'е ^ >+
+1 V Л (Т+УГ)
-foo'
- ^ 2 т. (tv {Л +ЛМЛ+Л) 3fr5 Ю
- оо
-1уЛ773,+.(",) 3.,+. (",) }е"'
После вычисления коэфициентов ряда Фурье переходив непосредственно
сообразно с принципом соответствия к оценке интенсивности. Предположим,
что простое вырождение, имеющее место для переменных У$, , У9 в
§ 35 (11), здесь исчезает,
что происходит или вследствие учета членов квадратической формы
относительно Е или при учете теории относительности.
Тогда в силу основных постулатов квантовой теории необходимо положить;
Уг =п% h\ Jn =1Ц h: =nvh.
По принципу соответственности мы получаем интенсивность одной линии,
