Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
в виде
. fa (s) = { J тг i[е~1V*'(R) - i1 + 1 • (7.280
Далее, нас интересует предельный случай, когда величины Q,
N и Na неограниченно возрастают, причем
lim -7г = яа<°°. (7.29)
N ->0O "
ii->oo
Выполняя указанный предельный переход в формуле (7.28'), получаем
Fa(s) = exp{"a ^R[e-'slVRI_ j]}. (7.28")
Соответственно
00
9 № = i S ds ехР fisU + Е Па S dR te~'SVa <R) - !] ) • (7.27")
-ОО С a )
Таким же способом можно вычислить и характеристический функционал А (г/)
. Выполняя над равенством (7.23)
82 ГЛ. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
преобразование Фурье, мы получаем
"а
U(k) = Zl,Va(k)e-i''*i, (7.30)
а /-1
где Va{к) есть фурье-образ функции Va(R); в частном случае
(7.24)
Va (к)== 2п2е(5+г0-2)' (7,31)
Согласно (7.8), (7.15') и (7.30) в рассматриваемом случае А (zl) - Q~N J|
jj dRj exp | - iz jj dk Va (к) / (к) e~ikR! |,
a. i
откуда
A (2/)=exp|^]rtajjdR|exp(- iz^dk Va{k)I (k)e~'kR) - 1 j| (7.32)
Если интересующие нас значения z достаточно малы, то выражение в
квадратных скобках в (7.32) можно представить в виде
-/z^kKa(k)/(k)e-ikR-
- J dk dk'Va (k) Va (k') / (k) / (k') (k+r, R)_ (7 33)
Интеграл no R от первого слагаемого (с учетом (7.25') и (7.26)) дает нуль
после суммирования по а; соответственно
A (z/) " ехр | - 4 (2я)3 ? па \ dk | (k)f | / (k) p J. (7.34)
Это есть не что иное, как характеристический функционал гауссова поля
(7.20), причем
^ (к) = (2я)3 ? | Vа (к) р. (7.35)
а
Справедливость последней формулы легко проверить непосредственным
вычислением (см. Приложение IV). Таким образом, пуассоновское поле
сводится к гауссову, коль скоро оправдана аппроксимация (7.33). В разных
задачах количественная формулировка этого условия оказывается различной -
в зависимости от того, какие именно значения переменной z играют главную
роль при вычислении той или иной величины.
Отметим три интересных частных случая пуассоновского поля.
" 7. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОГО' ПОЛЯ
83
а) Поле хаотически распределенных по образцу заряженных точечных
центров (например, атомов примеси). В этом случае мы получаем согласно
(7.35) и (7.31)
2 е4л!
У(к) = 2,,*. (7-36)
яе (fc + г0 )
где п] - эффективная концентрация примеси (П. IV. 5).
Согласно (7.7) и (7.36) в координатном пространстве мы имеем
~ * 4
2зтп 6
У (г) = J Го ехр (- г/г0). (7.37а)
Роль корреляционной длины go здесь играет радиус экранирования Го.
б) Поле диполей, хаотически распределенных по образцу.
Плечи этих полей d могут быть и различными; поэтому надо
говорить о диполях разных типов, нумеруя их индексом а. Под Na и Va в
формуле (7.23) следует понимать теперь число диполей данного типа и
потенциальную энергию электрона в поле отдельного экранированного диполя:
Fdlp (г) = Jlехр - e|r + dg| ехр (- •
Соответствующий фурье-образ есть
Fdlp(k) =
е2 1 - е ikd
Поскольку Fdip(k) = 0 при к = 0, условие (7.25) в этом случае
удовлетворяется автоматически, чего и следовало ожидать - система
нейтральна.
Для бинарной корреляционной функции мы получаем здесь
Ч- (г, _ ехр (-i) J] ± [ехр (? - +
а
+exp(t-i^r!i)]}- <7-37б>
в) Поле упругих деформаций, возникающих в неоднородном твердом
растворе в силу флуктуаций состава, коль скоро эти флуктуации малы:
средняя атомная доля примеси в каждом
узле должна быть мала по сравнению с единицей. Согласно
Пр иложению II, соответствующую бинарную корреляционную функцию можно
аппроксимировать выражением
? (г - г') = Ф0б (г - г'), (7.37в)
84 ГЛ. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
где Ф0 - постоянная. В растворах с одним атомом в элементарной ячейке Фо
дается формулой (П. 11.15), в которой следует пренебречь атомной долей с
по сравнению с единицей. Величину if>i в случае (7.37в) надо определять
по формуле (П. II. 15').
Представление о характеристическом функционале удобно использовать для
феноменологического описания случайных полей, для которых явный вид
функционала $P[U] может быть неизвестен.
Рассмотрим прежде всего поля с конечным значением среднего квадрата, ifi,
и других аналогичных величин (см. ниже формулу (7.43)). В отличие от
гауссова, будем называть их полями общего вида. В этом случае удобно
представить характеристический функционал в виде
А (zl) = exp { - Jrfk | / (k) I2 Ф (k)} ? cnHn [F (zl)]. (7.34')
n> 0
Здесь Ф(к)-функция того же класса, что и Т (к) (вещественная,
положительная и интегрируемая), Нп-полиномы Эрмита, сп - коэффициенты,
удовлетворяющие условиям
Ш c"//n(0) = l, C2msRe, Счт+\е Im, (7.38)
п> о
= ••• + k*)x
/> 2
ХФ,(к" .... к,)/(кО ... /(к,), (7.39)
Ф; - некоторые достаточно регулярные ядра.
Точный смысл последнего выражения состоит в следующем. Пусть
Ф, (0, ..., 0) < оо, h = Ф, (0, ..., 0) Ф"//2 (0) Г3 < с", (7.40)
а с - некоторая постоянная. Мы будем считать, что ряды*)
s> Z тгs*(z) = ЕCkH*(cSi)> =? °kHk [/7 (г)] (7-41)
/>2 k>0 к
сходятся при всех конечных значениях вещественного аргумента г, причем
так, что интеграл
оо
/= | ^-e-*!S2(z)<°o, (7.410
*) В дальнейшем (§ 9) возникают выражения именно такого типа.
