Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
можно считать заданными либо таблично, либо графически, либо с помощью
интерполяционных формул того или иного типа. Комбинируя их с
экспериментальными данными ДЛЯ S аа' (q)> мы могли бы рассчитать и
функцию 'F(r). В рассматриваемой задаче, однако, можно обойтись и без
этого.
Действительно, рассмотрим сначала гомеополярные материалы. Мы имеем здесь
систему с короткодействующими силами. Поэтому единственные значения
энергии и длины, которые могут входить в формулы (8.14) и (8.14"), -
порядка атомных. Иначе говоря, в задаче нет параметров, которые могли бы
обеспечить доминирующую роль малых волновых чисел в правой части (8.14).
Отсюда явствует, что поле может оказаться гладким лишь в результате
случайных соотношений между параметрами функций 5 и V. Видимо, в таких
веществах гладкое случайное поле может появиться лишь при наличии
структурных дефектов. Мы вернемся к этому вопросу в конце данного
параграфа.
Рассмотрим теперь асимптотику функции 'F(r) при г-*- оо. Для этой цели
удобно воспользоваться координатным представлением. По определению (п -
г2 = г)
? (Г1 - r2) = ((V (г,) - (V)) {V (г2) - <V))) = (V (г) V (0)> - (V)2.
(8.18) Подставляя сюда выражение (8.3), находим
Y(r,-r2) = 5 П (г,-R,) о (*-!*,) +
к 1г = 1
N 1
+ Yj v (r> - R<)v (r2 - R/)w (Ri - R/) I -
i. />i
)
Интегралы по всем переменным R*, кроме входящих в аргументы атомных
псевдопотенциалов, равны й, а интегралы, содержащие псевдопотенциалы, не
зависят от нумерации индексов
94
ГЛ. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
при R. Следовательно,
4f(ri-r2) = |-JdRw(r1-R)w(r2-R) +
+ \ rfRi ^R2[(r) (Ri - R2) - 1] v (г, - R,) у (г2 - R2) +
+ \ dRio (ri - Ri) \ dK2v (r2 - R2) - ^ (J dR v (r, - R))*.
С точностью до слагаемых ~?2-1, исчезающих при термодинамическом
предельном переходе, последние два слагаемых взаимно уничтожаются, и мы
получаем после очевидной замены переменных
^ (ri - гг)= ^ dR v (R) v (Г[ - r2 + R) +
+ Q0-2$dR1rfR2[(r)(R1-R2)- 1] о (Г! - R0 о (г2 - Ra). (8.19)
Согласно сказанному ранее, первое слагаемое в правой части
(8.19) заметно отлично от нуля, лишь если расстояние |г 1 - Гг | -
порядка атомного. Поведение второго слагаемого зависит от того, как
быстро происходит убывание функции o>(Ri - R2)-1 при | Ri - R21 -*• оо.
Из экспериментальных данных, указанных в § I. 2, вытекает, что в аморфных
германии и кремнии функция w(r) практически обращается в единицу на длине
гс, не превышающей нескольких межатомных расстояний. Естественно ожидать,
что так будет обстоять дело и в других аморфных материалах с
короткодействующими силами. С другой стороны, представление о случайном
поле часто используется в задачах, в которых существенны значительно
большие длины. Так обстоит дело при исследовании поведения носителей
заряда, занимающих не слишком сильно локализованные состояния в щели для
подвижности (в том числе и у края подвижности), а также носителей заряда
с энергиями, принадлежащими непрерывному спектру (не слишком далеко от
края подвижности). В этих условиях имеет смысл аппроксимировать
корреляционную функцию выражением (7.37в), причем в силу
(8.14)
Фь= J ?(/¦)*• = Qoo2(0)S(0). (8.20)
Обратимся теперь к гетерополярным материалам (в частности, стеклам). При
наличии ионной связи в качестве fa(q) в формуле (8.17) следует
использовать экранированные псевдопотенциалы ионов. Для большинства
приложений в физике стеклообразных полупроводников интерес представляет,
по-ви-
§ 8. СОБСТВЕННОЕ СЛУЧАЙНОЕ ПОЛЕ
95
димому, поведение корреляционной функции на расстояниях, значительно
превышающих атомные. При этом экранирование валентными электронами
сводится просто к появлению в знаменателе иДя) безынерционной
диэлектрической проницаемости вещества е, а обрыв иа(г) на больших
расстояниях обеспечивается одним из механизмов экранирования (свободными
или локализованными носителями или примесями), хорошо известных в физике
полупроводников. Все эти механизмы можно учесть феноменологическим путем,
вводя в выражение для ua(q) радиус экранирования г0 (явные выражения для
последнего в разных условиях хорошо известны). Далее, поскольку
химическая связь в интересующих нас материалах может быть не чисто
полярной, удобно ввести эффективные заряды ионов Za (в единицах
элементарного заряда е). Числа Za характеризуют долю полярной связи и
могут быть и нецелыми. Таким образом,
Mq) =------о ??1г=2V (8.21)
ейа (<7 + г0 )
Подставляя выражение (8.21) в правую часть (8.17), мы получаем
(8'
22)
где R = r/r0, Аса' = -^р- baa' еХр (- R), Ваа'= ^ J+ Д* Faa'(x) dx,
О
Faaf {х) = Saa' (х) $aa't X :==
Функция Faa'(x) стремится к нулю при л:->-оо, однако характер этого
стремления зависит от асимптотики разности Waa'ir)-1 ПРИ г->0°. При этом
интеграл Ваа' не обязательно представляет собой гладкую функцию г:
производные от него по компонентам вектора г, начиная с некоторого
порядка, могут оказаться неограниченными при г-"-0. Эта функция, однако,
более гладкая, нежели Aaa'(R),- уже лапласиан от последней расходится при
