Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
R-*~ 0. Еще более существенно то обстоятельство, что при гс <С Го
слагаемое (r0/R) Ваа> оказывается малым по сравнению с (я/4)r0e~R, и в
ряде задач им можно пренебречь.
Таким образом, возвращаясь к обычным единицам, мы получаем
96 гл II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
Формально это есть не что иное, как корреляционная функция кулоновского
случайного поля. Смысл этого результата совершенно ясен: в сущности, мы
имеем здесь тоже неупорядоченную систему заряженных частиц. Любопытно,
однако, что корреляционные эффекты влияют лишь на сравнительно гладкую
часть случайного поля, описываемую функцией (r0jR) Ваа\
Эффективная концентрация ионов щ (сравните с (7.37а)) дается здесь
выражением
n't = Z zlQa\ (8.24)
а
Поскольку величины Qa суть объемы, приходящиеся на один атом (типа а)
основного вещества, правая часть (8.24) может быть довольно большой. Так,
при а = 1,2, Zj - -Z2 = 0, 1 и Qa - Ю2 ат. ед. мы имеем tit 1021 см-3. В
таких условиях оказываются оправданными аппроксимации, принятые в теории
сильно легированных полупроводников.
Обсудим теперь роль энергетической зависимости псевдопотенциала.
Интересуясь лишь сравнительно небольшой областью энергий вблизи границ
запрещенной зоны, Ес и Ev, мы вправе положить, соответственно, для
валентной зоны и для зоны проводимости 6V - 8V(Ev) и 6К = 6К(?С). Таким
образом, бинарная корреляционная функция приобретает зонные индексы, и,
например, вместо одного параметра ф) появляются три:
г|)(/ = <6К(?(.)6К(?/)); l,j = c,v. (8.25)
Иначе говоря, дело обстоит так, как если бы на электроны и дырки
действовали различные случайные поля.
Наконец, обратимся к вопросу о происхождении гладкого случайного поля.
Заранее ясно, что оно может возникнуть либо в системе с
дальнодействующими силами, либо в условиях, когда имеется систематическая
причина, обеспечивающая эффективное обрезание коротковолновых компонент
поля. Как мы видели в § 4, последний случай реализуется, например, при
взаимодействии носителей заряда с длинноволновыми фонона-ми. Нас здесь
будет интересовать система с кулоновскими силами. Гладкое поле здесь
может возникнуть в условиях, когда набор точечных зарядов можно заменить
непрерывным распределением плотности заряда, т. е. в условиях, когда
оправдан подход, характерный для макроскопической электродинамики.
Примеры неслучайных силовых полей такого типа хорошо известны -
достаточно вспомнить об искривлении зон вблизи разного рода контактов.
Интересующее нас случайное поле возникает, например, в результате
случайных сравнительно крупномасштабных вариаций концентрации примеси или
иных заря-
I 8. СОБСТВЕННОЕ СЛУЧАЙНОЕ ПОЛЕ
97
женных структурных дефектов (не обязательно точечных) при переходе от
одного физически малого объема к другому. При этом в пределах указанных
объемов концентрация дефектов практически постоянна, а условие локальной
нейтральности может и не иметь места. Дефекты такого типа могут иметь
технологическое происхождение (Ж. Л. Робер, Б. Пистуле, А. Рай-мон, Р. Л.
Аломбар, К. Бернар, К. Бускэ, 1978). Они возникают также в результате
облучения полупроводников нейтронами (Р. Л. Госсик, 1950). "Механизм"
возникновения случайного поля удобно проиллюстрировать на одном
специальном примере, близком к модели Госсика.
Пусть мы имеем набор хаотически разбросанных сферических областей радиуса
R в полупроводнике, легированном донорами. Флуктуация концентрации
доноров в пределах каждой из областей есть бNa; с ней связана избыточная
концентрация экранирующих электронов Ьп = п0 [exp (еср/Г)-1], где ср -
электростатический потенциал, п0 - средняя концентрация электронов
(использование больцмановской статистики здесь не носит принципиального
характера: при отказе от него изменилось бы лишь выражение для
фигурирующего в дальнейшем радиуса экранирования г0). Будем считать, что
рассматриваемые объемы не перекрываются и, как уже говорилось, содержат
много частиц, т. е. концентрация их iV и размер R удовлетворяют следующим
неравенствам:
NR3^ 1, ^R4Nd^>\. (8.26)
Допустим для простоты, что |еср|<с7\ Тогда потенциал отдельной
области дается выражениями (начало координат - в
центре данной области)
Ф (г) -
flit1 - (ro/r) С1 + Rlro) ехР (~ #lrо) sh О'/''о)]>
/ / ч (8.27)
аДО/г0)сЬ(7?/г0) - sh(^//~0)]~~~ ~ , r>R.
гл 4Я6 С 1 т О у-г
Здесь a, - -^uNd, r~l = --. Пользуясь выражениями
(8.27), легко убедиться, что условие |еср|<С Т сводится в данном случае к
неравенству /?<г0 (если бNa'^ п0).
Полный потенциал V/e получается суммированием выражений (8.27) по всем
областям. При некоррелированном расположении последних в пространстве при
этом возникает пуассонов-ское случайное поле, причем, как легко
убеди1ъся,
'I'i
- N^dr e2q>2 (г), i|)2 - j N ^ dr e2 (Vcp)2. (8.28)
98 гл. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
Подставляя сюда выражения (8.27), получаем (при R <С г0)
= r0R*e2N, = ^ R^N. (8.29)
Соответственно условие гладкости (8.2) принимает вид
eh* ----------------<С 1. (8.30)
