Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Вычисление правой части (9.17) затруднено тем, что величина v(/o)
представляет собой функционал от U(г), и притом функционал неизвестного
вида. Очевидно, однако, что мы лишь уменьшим значение Qb, заменяя v
меньшей величиной. В качестве таковой удобно взять наименьшее значение
v(/0) для всех возможных конфигураций случайного поля на сфере радиуса
10:
Vmin = min {v (/о)}. (9.18)
(У)
При этом в силу (7.53а) - (7.53в) с подавляющей вероятностью
| Vmin | °°.
Заметим, что в силу (9.15) величина vmin отнюдь не обязана совпадать с
абсолютным минимумом v во всем образце: на поверхности сферы радиуса /о
"самоусреднение" еще не происходит. Вместе с тем, выполняя усреднение по
"области локализации", мы должны считать vmin заданной величиной.
Таким образом,
Qb>{Q[vmin-E + C/yl0]). (9.17')
При этом мы вправе считать, что vmin С 0. В противном случае
правую часть (9.17') можно было бы еще больше упростить,
заменяя там vmm нулем.
Собственное значение Е также, очевидно, представляет собой функционал от
U(г). Как известно из квантовой механики,
Е = (Ч>, ГЧ> + ?Л|>), (9.19)
где i|) есть точная собственная функция уравнения (9.3), принадлежащая
данному собственному значению Е, а круглые скобки обозначают скалярное
произведение:
(i|), fi|) + ?Л|>) = ^ dr 1|з* (г) (Т + U) if (г).
Поскольку i|) = ,ф[^]> вычисление правой части (9.17') с учетом
(9.19) неудобно. Мы можем, однако, мажорировать Е, воспользовавшись
вариационным принципом квантовой механики. Согласно последнему правая
часть (9.19) может только увеличиться, если заменить там собственную
функцию -ф произвольной функцией класса Ь2 (нормированной, как и -ф, на
единицу). Обозначим такую функцию через i|)Y, понимая под у
параметр
или совокупность параметров, от которых она может зависеть.
Тогда
?<(%, т% + и%),
(9.20)
Ю4 гл. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
причем знак равенства достигается только при = if. Таким образом,
Qb > (e[vmin + ^ - foY, НУ + Ux|>Y)]) . (9.17")
Поскольку вид функции i|)Y может быть навязан a priori, случайная
величина U входит в (9.17") только явно. Это позволяет без труда
вычислить фигурирующее там среднее значение. Действительно, пользуясь
интегральным представлением (7.50'), мы можем переписать соотношение
(9.17") в виде
I <9-21)
- ОО
где
a - i[t/] = (il3v, t/ij3Y). (9.22)
В выражении (9.21) уже можно выполнить формальный предельный переход у/0-
>-оо. Квантовомеханические средние значения а и b удобно вычислять,
подставляя U (г) и i|)Y в виде разложений Фурье типа (7.1). При этом
а= Ukr(k)|i|3Y(k)|2, b[U]=[dkU (к) В (k),
r (9.23)
B(k)=\dk'ryW% (k'-k).
Задача свелась, таким образом, к вычислению интегралов от
характеристического функционала Л($В). Это вычисление удобно выполнять по
отдельности для случая гауссова поля, поля общего вида (с
характеристическим функционалом (7.34')) и лоренцева поля.
а) Гауссово поле. Пользуясь формулой (7.20), мы получаем ИЗ (9.21)
(при Vmin < 0)
Qb>j{ 1-erfti,), (9.21')
где
т]!= a + jjmIni. (9.24)
& = [i-$dk'F(k)|?(k)|2]1/a, (9.25)
a erf т]! - интеграл ошибок:
$ 9*. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ
105
Принимая во внимание выражение (9.5) для волновой функции связанного
состояния, возьмем пробную функцию ^(к) в виде *)
f8v5W2
Фу (k) = п (v3 + к2)2 • (9.26)
При этом
Е - vmm = - h2y2/2m, a = h2y2/2tn, В = (1 -f k2/4y2)~2 (9.27) и,
следовательно,
" _ й2у1/2/2т + 1 vmitl 1 у~3/2 rQ
г с .-ll/г •
4^dqY(2Y?)(l + <72)-4J
В силу (7.44') знаменатель дроби (9.28) при достаточно малых (но
конечных) значениях у пропорционален [Y (к)]1/214=0. Видим, что величина
rji, а с ней и вероятность Qb, оказывается конечной.
б) Поле общего вида. Пользуясь формулой (7.34'), мы получаем
оо
i S 7^5 е' (W") '~1"' ? С"Н" И. (9.29)
- ОО П 0
где
5 = [1^кФ(к)В(к)В(-к)]'/2, (9.30)
величины а и В по-прежнему даются выражениями (9.23), а
функция F получается из выражения (7.39) заменой z-+s,
/(кн-д(к).
Возьмем функцию i|)Y в прежнем виде (9.26) и ограничимся случаем
достаточно малых у, когда функции Ф;(2yqb ..., 2yqi) можно
аппроксимировать их значениями_в нуле, Ф;(0, ..., 0). Произведя в (9.29)
замену переменных bs - у и принимая во внимание равенства (9.27) и
(7.41), мы получим
00
1 (9-2Г)
*) Функция (9.26) может быть не ортогональна к собственным функциям
нижележащих дискретных уровней. При доказательстве интересующей нас
сейчас теоремы о существовании дискретных уровней это, разумеется, не
играет роли, ибо уровень, описываемый функцией г|)у, можно рассматривать
как основной. Действительно, обратное предположение означало бы, что
какие-то дискретные уровни заведомо существуют, и дальнейшие рассуждения
стали бы беспредметны. Однако попытка вычислять таким путем плотность
состояний и общее число дискретных уровней была бы не оправдана.
106 гл. П. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
Ряд 5г(г) дается формулой (7.41) при
1 07/2 3/2
C==W z Y у'
В силу (7.41') интеграл в (9.21") сходится. По определению коэффициентов
