Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Связь ядра В (г- г') с корреляционной функцией Ч*- видна из (7.16") и
(7.18).
Из формулы (7.19) явствует, что в гауссовом поле все корреляционные
функции 'Fn выражаются через бинарную = Ч*1. Легко вычислить также
характеристический функционал А (г/) (см. Приложение III). Мы получаем
А (г/) = ехр {- -f- Jrfk 11 (k) pF (к)}. (7.20)
§ 7. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОГО ПОЛЯ
79
Обратимся теперь к пуассоновскому полю.
Имея в виду, что в полупроводнике могут находиться примеси разных типов
(например, доноры и акцепторы), удобно рассматривать индекс i как
составной, полагая i = {a,ja}, где индексы а и ja нумеруют,
соответственно, типы примеси и примесные атомы данного типа; при этом
число примесных атомов типа а есть Na и
ia= 1.....Nа\ Z Na = N. (7.21)
а
Концентрацию атомов типа а обозначим через па:
па - NJQ. (7.22)
Пусть потенциальная энергия носителя заряда в поле отдельного центра типа
а, расположенного в точке R/, есть Va(r - R/). Тогда
Na
У(г) = ?? Va(T-4,). (7.23)
а 1=1
Пользуясь этой формулой в применении к полупроводникам с заряженными
примесями, следует принять во внимание два обстоятельства.
Во-первых, неизбежное перераспределение свободных и/или связанных зарядов
в поле данного центра приводит к экранированию последнего. Это означает,
что при увеличении |r - R,| величины Va(г - R/) достаточно быстро убывают
по модулю, так что соответствующие интегралы по R; сходятся на
бесконечности. Для ориентации мы будем иногда пользоваться простейшей
формой экранированного потенциала, полагая
Va(R) = ^fexp(-R/r0), (7.24)
где Za - заряд данного центра в единицах элементарного заряда е, е -
статическая диэлектрическая проницаемость вещества, Го - радиус
экранирования. Отметим, что экранировка, будучи коллективным эффектом,
строго говоря, приводит к неаддитивности потенциала У (г) (хотя
представление его в виде суммы (7.23) и можно сохранить). Однако это
обстоятельство последовательно учитывается в рамках формально
одноэлектронной задачи об энергетическом спектре [14]. Далее, в общем
случае статистику случайного поля, равно как и форму потенциала IMR),
надо определять самосогласованным путем одновременно со спектром
носителей заряда. Есть задачи, когда это обстоятельство существенно [29].
Во многих случаях, однако, справедлив принятый здесь более простой
подход.
80
ГЛ. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
Во-вторых, система в целом остается нейтральной. Это означает, что,
наряду с взаимодействием носителя заряда с примесными центрами, надо
принимать во внимание и взаимодействие его с размазанным зарядом
("фоном") всех остальных электронов и дырок. Условие нейтральности при
этом можно выразить в виде [13]
\ dR ^полн (R) = °> <7-25)
где Уполн - полная потенциальная энергия носителя заряда. Поскольку
взаимодействие рассматриваемого носителя заряда с "фоном" проявляется
только в условии нейтральности, мы можем в дальнейшем явно его не
рассматривать, условно заменяя равенство (7.25) более удобной формулой
"JdrF(r) = 0". (7.25')
Подчеркнем, что фактически обращается в нуль интеграл (7.25), а не
(7.25') (почему последняя формула и заключена в
кавычки). Проще, однако, пользоваться символическим
"равенством"
(7.25'), чем помнить, что к выражениям, линейным по V, надо добавлять еще
энергию взаимодействия носителя заряда с компенсирующим фоном. Заметим
также, что в случае полной компенсации, когда суммарный заряд одних лишь
атомов примеси равен нулю, равенство (7.25') приобретает уже не
символический, а точный смысл.
Очевидно, при этом условие (7.25/) означает, что
<F(r)> = 0. (7.25")
Действительно, случайный характер функции У (г) связан с хаотическим
распределением центров в пространстве. Следовательно, "усреднение по
случайному полю" сводится здесь к усреднению по всем возможным
конфигурациям примеси. В силу
(7.23) мы имеем
w=z $ "/'Mr - r<> Ш 1г-
а /=¦ 1 1Ф1
Заметим, что для примесей разного типа величины Va имеют разные знаки.
Для примеси данного типа все интегралы от Va здесь одинаковы, и,
следовательно,
00=5>" $dRV"(R). (7.26)
а
Здесь введена новая переменная интегрирования R == г - R/. Будучи
умножена на й, правая часть (7.26) превращается в ле-
§ 7. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОГО ПОЛЯ 81
вую часть (7.25'). Таким образом, мы вправе отождествить правую часть
(7.23) с полем U(г).
Вместо функционала 9>\U\ здесь удобнее говорить о функции распределения
U), определяющей вероятность данной
флуктуации потенциальной энергии:
N С
^)=П№бр-Е^(г-к/>1- <7-27)
1 = 1 L a, I J
Для вычисления интеграла в правой части представим 6-функцию в виде
обычного разложения Фурье; тогда
ОО
= fifce^n/Ms), (7.27')
- оо а
где
We~,sVa<RTa- (7-28)
Дальнейшая выкладка совершенно аналогична выводу распределения Хольцмарка
в астрономии [28]. Заметим, прежде всего, что, поскольку потенциал Ka(R)
убывает с увеличением R, интеграл в квадратных скобках в (7.28)
пропорционален объему. По этой причине удобно переписать равенство (7.28)
