Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
-oo I,
где A (z • e'kr) есть характеристический функционал (7.8) при г = s + И,
I = eikr.
В макроскопически однородной системе этот функционал фактически не
зависит от координат. Следовательно, интеграл по г в формуле (10.2) будет
равен просто объему системы Q: как и следовало ожидать, полное число
флуктуационных уров-
§ 10*. ОЦЕНКА КОНЦЕНТРАЦИИ ФЛУКТУАЦИОННЫХ УРОВНЕЙ 111
ней оказывается пропорциональным Q, что и позволяет ввести представление
о полной (при всех энергиях) их концентрации <vi>/G.
Положим
ОО
A (s • е'кг) = A (s) = ^ eivsA(v)dv. (Ю.7)
- оо
Очевидно, A (v) есть вероятность того, что U (г) = v. Получим
оо
?=-w!Iv1,!-4M',v- о о-в)
о
В частности, в гауссовом поле формула (7.20) дает
с2'|'- N ¦ exp (- v2/2i|)i)
ЛИ = ехр(-^), (10.9)
(V;) Г (5/4) m3/2^/42l
и, следовательно,
"3/2,,,3/491/4
(10.10)
?2 3 я5/2Й3
Введем "эффективную температуру" Т*, представляя правую часть (10.10) в
виде, привычном в обычной статистике полупроводников [3]:
Сравнивая равенства (10.11) и (10.10), получаем
Г" 0,3г|^2. (10.12)
Положим для оценки г|;}/2 = 0,05 эВ. Тогда Т* соответствует 160 К и
? " см~'- <10ЛЗ)
Несмотря на ориентировочный характер этой оценки, видно, что концентрация
флуктуационных уровней в полупроводниках со случайным полем может
оказаться весьма большой. Это обстоятельство, видимо, может служить одной
из причин отмечавшейся в гл. I малой чувствительности положения уровня
Ферми в ряде неупорядоченных полупроводников к легированию посторонними
примесями. Действительно, в рассматриваемых условиях уровень Ферми может
быть фиксирован самими флуктуацион-ными уровнями.
Обратимся теперь к двухэлектронным связанным состояниям. При этом мы не
будем принимать во внимание возмож-
112 гл. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
ные силы притяжения, рассматривая лишь связанные состояния, возникающие в
достаточно глубоких флуктуационных потенциальных ямах несмотря на наличие
кулоновского отталкивания. Число таких состояний можно оценить тем же
путем, что и Vi, - с одним лишь уточнением. Дело в том, что, рассуждая
квазиклассическим путем, мы должны принять специальные меры, дабы
отделить истинно двухэлектронные состояния от пар одноэлектронных.
Напомним в связи с этим, что, согласно сказанному в § 9, в
двухэлектронном состоянии оба электрона находятся, в основном, в одной и
той же области с линейными размерами порядка радиуса локализации. С
другой стороны, говоря о паре одноэлектронных уровней, мы имеем в виду
состояние, в котором электроны локализованы каждый у своего центра,
причем расстояние между центрами превышает радиус локализации. Отсюда
явствует, что простейший, хотя и грубый, способ выделить двухэлектронные
состояния состоит в том, чтобы ограничить область интегрирования по
координатам электронов п и Гг, полагая
г = |г, - г21^*0. (10.14)
Здесь х0 - длина порядка радиуса локализации.
Введем следующие обозначения:
b=Vc(|ri-r2l)U0> (10.15)
оо
A [s (eikr> -f е'кГг)] s= A (s, г) = Ц d\ eivsF (v, г). (10.16)
- оо
Тогда
^\r2B2{r)dr, (10.17)
JC5
(v2) 2m3
й - Зя2й6
о
где
В2(г)- ^ (v - bf F (v, r)dv. (10.18)
В частности, в гауссовом случайном поле
F(yt r) = J3±Z*tU*L+.W]] . (10.19)
2 Уя [ф, + V (r)J
Самые простые результаты получаются, если в функции F(v, г) главную роль
играют значения г, малые по сравнению с лго (так обстоит дело, если
корреляционная функция Ч;(г) достаточно быстро убывает с увеличением г).
При этом
4(s, л)"Л(5, 0) = Л(2$)
§ 11. РАДИУС ЛОКАЛИЗАЦИИ. СТЕПЕННАЯ ЛОКАЛИЗАЦИЯ 113
(последнее равенство вытекает из определения А с учетом макроскопической
однородности системы). Следовательно, F(v, 0) " '/2 A (v/2). Обозначим
через Е0 характерную энергию, фигурирующую в функционале /4(s, 0) (в
гауссовом поле Е0 = = v4i)> и положим
к = Ь/2Е0. (10.20)
Тогда, сравнивая выражения (10.9) и (10.17), мы получаем, полагая v = at:
^ (t- I)3 А (Я t) dt
----------------. (10.21)
<vi> 3 .
\ t3,2A (Я t) dt о
В гауссовом поле при слабом отталкивании, когда К <С 1, правая часть
(10.21) оказывается пропорциональной
тхЪ тхЪ.Ь,/4
-Лг = о,! ¦ 10.22)
Й2Я3/2 ftV/2
Поскольку h2/mxl- порядка энергии ионизации, величина (10.22) может
оказаться и не малой.
С другой стороны, при сильном отталкивании, когда 1, концентрация
двухэлектронных уровней, как и следовало ожидать, сравнительно невелика:
левая часть (10.22) оказывается заметно меньше единицы.
§ П. Радиус локализации. Степенная локализация
Радиус локализации v_I зависит от энергии ионизации рассматриваемого
уровня Е. Вид этой зависимости нетрудно установить для сравнительно
глубоких флуктуационных ям. Действительно, здесь (рис. 6) можно выделить
область пространства, в которой max| U (г, 0, ф)|<СЯ и, следовательно,
волно-
(9. Ф)
вая функция имеет известный из квантовой механики асимптотический вид:
\1)~ехр(- г). (11.1)
При этом, очевидно,
Y-1 = h/^2mE. (П.2)
При уменьшении энергии ионизации, во-первых, в соответствии с (11.2),
растет радиус локализации и, во-вторых, возра-
