Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
второй индекс, /, нумерует четыре связи. Базисные функции
ортонормированы, их можно представлять себе как гибридизованные 5/?3-
орбитали. Простота модельного гамильтониана (6.1) состоит в том, что в
нем учитывается взаимодействие лишь между состояниями, отвечающими разным
связям одного и того же атома (член с 7i), и взаимодействие между
базисными функциями, относящимися к одной и той же связи, но к разным
атомам - ближайшим соседям (член с У2). Несмотря на вариации в
относительном расположении и длине
5 6* ПОЛУПРОВОДНИК БЕЗ СЛУЧАЙНОГО ПОЛЯ
71
связей, матричные элементы Vi и V2 считаются постоянными. При такой
записи гамильтониана ничего не говорится о нумерации атомов и связей
системы в целом - при сохранении строгого тетраэдрического ближнего
порядка система в целом не-упорядочена. Однако отсутствие разброса в
матричных элементах V\ и V2 означает пренебрежение флуктуациями
потенциальной энергии электрона. Иначе говоря, речь может идти только о
материале без случайного поля. По этой причине не вызывает удивления
результат, полученный при рассмотрении энергетического спектра системы с
гамильтонианом (6.1): при любом характере связности системы в целом в
двузонном энергетическом спектре существует щель Es величины
\Ег\ - 2\ V2\ - 4| Vi\. (6.2)
Это можно доказать следующим образом. Запишем решение уравнения
Шредингера (Я- E)ty = 0 в виде разложения по базисным функциям:
¦ф = Z ФцЯц. (6.3)
I. /
Зафиксируем какой-либо индекс i и будем рассматривать величины ац как
компоненты вектора-столбца u(i), строки которого отвечают различным
связям /= 1, 2, 3, 4. Тогда коэффициенты а. ,,
отвечающие тем же связям, но четырем соседним
I > /
атомам с номерами i', можно считать компонентами другого вектора v(i). С
помощью этих векторов уравнение Шредингера записывается как
Ми (i) = - V2v (г). (6.4)
Здесь
/-Е V, V: V,\
М=[ Уу\ ~у> -Е v\\ <6-Б>
' Vl Vi Vt -Е /
Матрице М отвечают невырожденное собственное значение Я] = = -Е + 3Vi и
трехкратно вырожденное собственное значение l2 = -E-Vu
Предположим, что ни одно из Хт (т = 1,2) не превышает по модулю \V2\:
шах|Ят|<| V2\. (6.6)
Тогда, обозначив через ||и||, ||ы|| нормы векторов, с учетом
(6.4) имеем для каждого i
- I V2 i II ^ II > {max | |} [| ы || (6.7)
' II V II < XII и ||. (6.8)
Здесь 0 < л: < 1.
72 ГЛ. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
Покажем теперь, что сделанное предположение приводит к невозможности
нормировать волновую функцию. Определим величину
Л/ (0 = I У/ (О I2 - I и, (0 р. (6.9)
Просуммируем Л/(г) по всем атомам кластера, содержащего
91 атомов. Согласно (6.8) мы имеем
О > (х2 - 1) Е || и (0 ||2 > ? Л/ (г). (6.10)
t i, /
Однако величины А/(г) попарно взаимно уничтожаются для каждой связи
внутри кластера. Отсюда вытекает результат
?М0= X МО. (6.11)
Li
Следовательно,
/
по поверхн.
ZM0
< S ||м(0И2(1+*2). (6.12)
i по поверхн.
Суммирование в правых частях (6.11) и (6.12) ведется по номерам граничных
атомов, имеющих по крайней мере одну разорванную связь. Будем теперь
поэтапно наращивать число атомов в кластере таким образом, чтобы все
разорванные на некотором этапе связи оказались внутренними на следующем.
Определим нормировочную функцию:
1 X! II и (0 IF- (6-13)
i
Тогда полученные выше неравенства дают
(6.14)
*^л ЭДя+i 2х2
При добавлении новых слоев к кластеру отношение Sln/SHn+i стремится к
единице при достаточно больших п. Действительно, разность между
величинами и 9ln+i возрастает с п как объем слоя единичной толщины, т. е.
как п2, тогда как сами эти величины растут как п3. Поэтому левая часть в
(6.14) оказывается ограниченной снизу, ибо 0 <С х <С 1. Отсюда вытекает,
что рассматриваемое состояние невозможно нормировать, - и условие (6.6)
определяет область энергий, в которой плотность состояний равна нулю.
Аналогично доказывается, что неравенство
min| Am | > | V2\ (6.15)
также определяет запрещенную область энергий. Совокупность условий (6.6)
и (6.15) и дает приведенную в (6.2) величину щели Еа.
§ 7. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОГО ПОЛЯ
73
Неизбежным следствием данной модели оказывается наличие двух
дельтообразных пиков плотности состояний, располагающихся у краев зон.
Последнее затрудняет сопоставление получаемой в этой модели плотности
состояний с результатами других расчетов для аморфных структур.
§ 7. Статистические характеристики случайного поля
Физические соображения позволяют ограничить класс функций V(r), на
котором функционал &[]/] отличен от нуля. Действительно, естественно
ожидать, например, что потенциальная энергия носителя заряда будет
непрерывной функцией координат (за исключением, может быть, отдельных
точек), окажется - хотя бы в среднем - ограниченной по величине и т. д.
Мы будем предполагать возможность разложения Фурье
l/(r)= J dkV(k)eik', (7.1)
причем случайные коэффициенты Фурье F(k) могут быть как
обычными, так и обобщенными функциями. В силу веществен-
ности потенциальной энергии F(r) мы имеем У(к)=У*(-к).
