Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Иногда удобно пользоваться разложением не в интеграл, а в ряд Фурье. Для
этой цели надо рассматривать систему большого, но конечного объема Q,
накладывая условия периодичности на его границах.
Тогда вместо (7.1) получим
У(г) = ?Г1/2ХЛк, Ук=У*_к. (7.10
к
В пределе при Я->оо мы имеем
Yj ' ')-> *(2itp" $dk(...). к
Здесь точками обозначено суммируемое выражение, асимптотически при ?2 -оо
не зависящее от объема Q. Следовательно,
<7-2>
В соответствии со сказанным в § 1.4, представим потенциальную энергию V в
виде суммы систематического Vs и случайного V, слагаемых *):
V=Vs+Vr. (7.3)
*) В силу линейного характера соотношения (7.1) аргументы функций V, Vs и
Vr можно не указывать. Заметим, что слагаемое Vs не обязательно
периодично.
74
ГЛ. и. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
Разбиение такого типа, разумеется, неоднозначно. Мы можем воспользоваться
этим обстоятельством, включив среднее Значение Vr в систематическую часть
Vs. Именно, положим
Vr = (Vr) + U, (U) = 0, (7.4)
и включим <Vr> в систематическое слагаемое Vs.
Вообще говоря, величина <Vr> может и сама зависеть от координат. Мы
ограничимся изучением макроскопически однородных систем, в которых такая
зависимость отсутствует. В сущности, это есть часть определения: система
со случайным полем называется макроскопически однородной, если все
средние значения типа <У(п) ... V (rt)) (/=1,2,...) зависят лишь от / - 1
разностей п - п, г2 - г;, . . . *).
Физический смысл этого определения очевиден: все точки макроскопически
однородной системы статистически равноправны. Примером такой системы
может служить кристалл с постоянной в пространстве средней концентрацией
примеси.
Если потенциальная энергия носителя заряда в случайном поле не зависит от
типа носителя, то величину <V,) можно положить равной нулю: это сводится
лишь к определенному выбору начала отсчета энергии. При взаимодействии
типа потенциала деформации значения Vr для электронов и дырок, вообще
говоря, различны; при этом слагаемое <Vr>, будучи включено в Vs, приводит
к перенормировке ширины запрещенной зоны. Последний эффект может
проявиться, например, при между-зонном поглощении света (гл. V). В обоих
случаях, однако, мы приходим к задаче о статистических характеристиках
поля U с нулевым средним значением. Величину теперь надо рассматривать
как функционал от U; соответственно мы будем иметь дело со случайными
коэффициентами Фурье и к и U( к), связанными с U {г) и друг с другом
соотношениями вида (7.1), (7.Г) и (7.2).
Статистические свойства поля U(г) удобно характеризовать с помощью
корреляционных функций **)
Wn (г ь ..., г ") = <?/ (г,) ...U (г")>, п > 2. (7.5)
Действительно, все измеряемые на опыте величины, зависящие от U,
выражаются через функции (7.5). Так, например, средний квадрат флуктуации
потенциальной энергии носителя заряда % дается формулой
'^1 = (?/2 (г)) = ^2 (г, г') \г,_г. (7.6)
*) Это определение эквивалентно принятому в книге [13], но более
наглядно.
**) В дальнейшем мы будем чаще всего пользоваться бинарной корреляционной
функцией 'F2. Б тех случаях, когда это не может повести к недоразумению,
индекс 2 будет для краткости опускаться.
§ 7. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОГО ПОЛЯ
76
В макроскопически однородной системе величина \|>i есть константа, а
функции Ч'-,, зависят только от разностей п - г", Г2-гп, ¦ ¦. В
частности, бинарная корреляционная функция Тг s= зависит только от п-г2 =
г. По этой причине может оказаться удобным представление Фурье:
Из физических соображений следует, что корреляционная функция Чг(г)
должна обращаться в нуль при r-^оо. Действительно, корреляция между
случайными величинами ?/(п) и U(г2) должна ослабевать при раздвижении
точек г, и г2 (это есть проявление весьма общего принципа ослабления
корреляции (Н. Н. Боголюбов, I960)). Соответствующую характерную длину
(радиус корреляции) мы обозначим через |0-
Функции Тп удобно выразить через характеристический функционал *)
Здесь z - комплексное число, возможный знак мнимой части которого
определяется условием сходимости получающихся в дальнейшем интегралов,
/(к) = /* (-к) - произвольная функция.
Действительно, варьируя п раз функционал A (zl) по /(к), мы получаем
определяет связь рассматриваемых вариационных производных с функциями
(7.5):
Условие макроскопической однородности системы накладывает определенные
ограничения на свойства функциональных
? (г) = J dk efkMF (k).
(7.7)
А (zl) - ^ехр | - iz ^ dk U (k) I (k) . (7.8)
6nA (zl)
= (- iz)n (U (k,) ... U (k")>, (7.9)
6/(k,)...6/(kn) /=o
что в сочетании с формулой
U(r)= Jdkeikrt/(k)
(7.Ю).
(-/агГЧ'Лгь ..r") =
= ^ dk\ ... dkn exp I i k/ry
*) Функционал A(zl) удобен и для непосредственного вычисления многих
средних значений.
76
ГЛ. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
производных от А по 1 при 1 = 0. Действительно, поскольку может зависеть
лишь от разностей аргументов гь г", выражение под знаком интеграла в
правой части (7.11) должно содержать множитель б(ki + ••• +k").
