Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
усреднения по объему, размеры которого малы по сравнению с характерным
масштабом неоднородностей, но велики по сравнению с длиной свободного
пробега, определяемой мелкомасштабными флуктуациями (и, возможно,
фононами). Соответственно в неоднородных полупроводниках можно ввести
случайные концентрацию электронов п(х), их подвижность |д,(х), локальную
функцию распределения f(x,E) и локальную подвижность, зависящую от
энергии ц(х,Е). Ясно, что в рассматриваемой модели вклад в проводимость
среды могут давать лишь электроны с энергиями, превосходящими порог
протекания Ес. При F < Ес это обстоятельство и определяет активационный
характер температурной зависимости числа электронов, заброшенных в
область ? > Ес, а с ним - и проводимости системы. С другой стороны, при
перемещении уровня Ферми в область Е > Ес происходит переход к
безактивационной металлической проводимости. Заметим, однако, что
вычисление проводимости неупорядоченного полупроводника представляет
собой далеко не простую задачу, даже если известны статистические
свойства локальных характеристик случайной среды. Дело в том, что форма
связной инфинит-
278
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
ной области пространства, классически доступной для электрона с энергией
Е, может быть весьма сложной. По этой причине вклады в полную
проводимость от различных областей про* странства с близкими значениями
локальной проводимости могут существенно различаться. Например, можно
ожидать, что вклад от "заливов", аналогичных "тупикам" в бесконечном
кластере связей, будет малым. Соответственно, вообще говоря, нельзя
считать, что проводимость системы при Е > Ес пропорциональна объему
бесконечной классически доступной области пространства. Отыскание
характера изменения проводимости в области вблизи порога требует более
детальной информации о свойствах системы вблизи порога протекания.
§ 16*. Критическое поведение в задачах протекания
Выше при рассмотрении прыжковой проводимости по локализованным состояниям
мы установили, при каких условиях задача о проводимости трехмерной
случайной сетки сопротивлений может быть приближенно решена методами
теории протекания. Как мы видели в § 15, вычисление проводимости
неоднородных полупроводников с крупномасштабными флуктуациями потенциала
в определенных случаях также сводится к одной из задач теории протекания;
к теории протекания приводит и ряд других задач о проводимости различных
неупорядоченных систем. Характерная особенность задач протекания в
бесконечных системах состоит в существовании порога, при котором
скачкообразно меняются топологические свойства системы. Именно, в
пороговой точке возникает бесконечный кластер зацепляющихся связей (или
связанных открытых узлов), или бесконечно протяженная связная область
пространства, доступная для носителей заряда. В этом смысле можно
говорить об изменении свойств связности системы при появлении в ней
возможности протекания и о появлении корреляции между свойствами системы
на больших расстояниях. Ситуация здесь в известном смысле напоминает ту,
что возникает при фазовых переходах второго рода. Эту аналогию оказалось
возможным использовать для распространения методов, развитых в теории
фазовых переходов второго рода, на задачи протекания (П. В. Кастелайн, К.
М. Фортуин, 1969).
Связь теории протекания с теорией фазовых переходов можно
проиллюстрировать на примере модели разбавленного ферромагнетика [51,
54]. Пусть часть немагнитных атомов в узлах регулярной решетки заменена
ферромагнитными, доля которых есть р. Будем считать, что взаимодействие
между ферромагнитными атомами устанавливает одинаковую ориентацию спинов,
если они расположены в соседних узлах, а для более
§ 16*. КРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ В ЗАДАЧАХ ПРОТЕКАНИЯ 279
далеких атомов этим взаимодействием можно пренебречь. При малых
концентрациях ферромагнитных атомов вероятность их попадания на соседние
узлы мала, и кластеры, внутри которых ориентация спинов одинакова,
изолированы друг от друга. При этом макроскопический магнитный момент
системы равен нулю в силу случайности ориентаций спинов в различных
кластерах. С возрастанием концентрации возрастают и размеры кластеров.
Наконец, при некотором пороговом значении р = рс в системе появляется
бесконечный кластер, возникновение которого отвечает переходу в
ферромагнитное состояние. Действительно, при р > рс в системе появляется
отличный от нуля магнитный момент, поскольку ориентация всех спинов
бесконечного кластера одинакова. Эта задача о разбавленном ферромагнетике
совпадает с перколяционной задачей узлов, если принять, что открытые узлы
соответствуют ферромагнитным атомам.
Величина ?Р(р)- доля узлов, принадлежащих бесконечному кластеру, - играет
в задачах протекания ту же роль, что и параметр порядка в теории фазовых
переходов: <?(р)== 0 ниже порога (при р < рс) и р) Ф 0 при р > рс.
Вблизи порога, со-
гласно численным расчетам, поведение величины !Р(р) может быть описано
