Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
" -00 - CO - CO
X [rtf (<"' - cd) - nP (to')] exp {is [ft to' Ec (k) - U (R)] +
+ ikr + Фс (R, r, k, s) -f is' [ftto' - ftto - (k') - U (R)] -
______ - ik'r + Фо (R, - r, k', s')}). (2.1)
*) Так обстоит дело, например, в случае полей электростатической природы
(мы употребляем термин "электростатическая" в узком смысле, исключая
взаимодействие типа потенциала деформации).
290 гл. V. междузонные ОПТИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДЫ
Многократный интеграл в правой части (2.1) вычисляется следующим образом.
а) Возьмем интеграл по со', принимая во внимание условия
(1.7), в которых к' и к" относятся, соответственно, к валентной зоне и к
зоне проводимости. В Приложении XIII доказывается, что в таких условиях
оо
^ da [rip (о/ - со) - Пр (со')] ехр [г (s + s') ftw'] "= б (s -f s').
(2.2)
"OO
Интеграл no s' в формуле (2.1) теперь легко берется. При этом сама
потенциальная энергия ?/(R) вообще выпадает. В согласии с рассуждениями §
1, остаются лишь квантовые поправки, связанные с производными U(R) по
координатам.
б) Выполним усреднение по случайному полю, т. е. вычислим выражение
Л = (ехр[фс(Я. г. к, яЭ + фЛЯ, - г, к', - s)]). (2.3)
Удобно привести экспоненту к виду линейного дифференциального оператора,
действующего на U(R). Это легко достигается путем введения
вспомогательного интегрирования, линеаризующего квадратичный по градиенту
случайного поля член в экспоненте в (2.3):
= _Ь^ех ехрsigns)}.
(2.4)
Мы объединили здесь слагаемые (VRt/)2 из фс и ф, в выражении (2.3) и
ввели приведенную эффективную массу
J~ = ~L + _L. (2.5)
mr тс mv
Теперь легко выполнить усреднение с помощью формул
(II. 7.8), (II. 7.20) и (П.ХП.32). Оставляя, в духе принятого
приближения, лишь члены порядка до Й2 включительно, мы получаем
л = A (S)=[i + г4?гГ'2- <2-6>
Здесь 2г|)2/е2 - средний квадрат напряженности случайного поля (П.ХП.1).
Заметим, что из формулы (2.6) выпал аргумент R, чего и следовало ожидать
в макроскопически однородной системе.
§ 2. ПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТА В ГЛАДКОМ ГАУССОВОМ ПОЛЕ
291
в) Подставим (2.3) в (2.1) и вычислим интегралы по R и по г. Первый из
них дает просто множитель й и сокращается с таким же множителем в
знаменателе (2.1).
Второй дает 6-функцию б (к - к'), после чего сразу вычисляется интеграл
по к'. При этом используется соотношение
Ec(b)-Ev(b) = E8 + h2k2/2mr. (2.7)
Таким образом, находим окончательно
оо
, . 2е2Г Г , Г ,, ехр [- is (Е - Н(й + h2k2/2mr)\
е2 ((?>) =--------- \ ds\dk -------1^-------------------------. (2.8)
(2п)2 а>2 J J (1 +/53А2г|з2/36тл)3/2
- ОО
Заметим, что комплексную междузонную диэлектрическую проницаемость можно
найти из формулы (2.8), заменяя интеграл
оо оо
^ ds(...) на 2г ^ ds (...). Действительно, легко убедиться, что
- оо О
определенная таким образом функция аналитична в верхней полуплоскости
комплексной переменной ш. Но тогда на действительной оси ш действительная
и мнимая части ее связаны соотношениями Крамерса - Кронига, чем и
доказывается сделанное выше утверждение.
Рассмотрим асимптотическую область
S • (Eg-na) " 1, (2.9)
где
S = {П2^ф%тг)~т. (2.10)
Тогда равенство (2.8) дает экспоненциальный хвост коэффициента
поглощения, простирающийся в запрещенную зону (В. Л. Бонч-Бруевич, 1970):
е2 (со) - А ехр [S • (Йсо - ?g)]. (2.11)
Величина А в формуле (2.11) содержит постоянные и более слабые частотные
зависимости, чем экспонента.
Видим, что теория действительно объясняет правило Урбаха (1.3.1). Тот же
результат получается и в негауссовом гладком поле [35]. Таким образом,
результат (2.11) не связан с какими-
либо частными модельными представлениями. Как и следовало
ожидать (§ 1), эффект оказывается_ существенно квантовым: согласно (2.10)
характерная энергия Е = S-1 обращается в нуль при 0. Хвост коэффициента
поглощения при этом исчезает.
Отметим, что выражение (2.11), вообще говоря, отнюдь не совпадает по виду
с плотностью состояний электронов или дырок, равно как и с
комбинированной плотностью состояний. Так,
292
ГЛ. V. МЕЖДУЗОННЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДЫ
в гладком гауссовом случайном поле хвост плотности электронных состояний
при J Е - Ес | " г]?1/2 описывается формулой (III. 7.14) (в которой
энергия Е отсчитывается от Ес). В силу условия (1.17) правая часть (III.
7.14) убывает с ростом |? - Ес| медленнее, нежели функция (2.11) с ростом
Йсо - Еа. Это означает, что между плотностью состояний и коэффициентом
поглощения света действительно имеется корреляция, соответствующая
третьей из теорем § 1.5, однако это - в данном случае - только
корреляция, а не явная связь. В соответствии со сказанным в § 1.5, явный
вид плотности состояний в оптических исследованиях в общем случае не
воспроизводится (хотя иногда это и возможно - см. ниже, п. Б)).
Из сказанного следует, что попытка оценить плотность состояний в
запрещенной зоне по оптическим данным, обработанным, например, с помощью
формул типа (1.12), может дать весьма заниженный результат.
Далее, сделаем еще три замечания.
Во-первых, согласно (2.10) выражение (2.11) не аналитично по "константе
