Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
известны (см. Приложение XI), они удовлетворяют приближенному соотношению
zx^ sa dl{d - 1), где d - размерность пространства, z - координационное
число, a zxT есть среднее число неразорванных связей, сходящихся в данном
узле. Зная хТ> можно найти и критическое значение Гс, отвечающее моменту
появления бесконечного кластера связей. Это значение и определяет
характерную величину проводимости системы. Действительно, переходы с Гм
<СГс мало сказываются на общей проводимости, а переходы с Гм' Гс не
играют существенной роли, ибо, как уже говорилось, электрон не может
пройти через всю систему только путем таких перескоков. Это
непосредственно подтверждается результатами численных расчетов,
выполненных для модели регулярной кубической сетки с экспоненциальным
разбросом темпов перескоков между соседними узлами.
Для случая сильно локализованных электронов перколяцион-ные соображения
приводят к несколько иной модели [51], отличающейся топологически от
стандартных перколяционных задач для регулярных решеток. Именно, будем
считать, что темпы переходов Гм/ случайны и меняются в широких пределах.
Будем по очереди разрывать "связи" между центрами, полагая
соответствующие Ги, = 0, начиная от минимального. Тогда при некотором
значении Гм' = Гс электрон уже не сможет пересечь всю систему и
проводимость точно обратится в нуль. Иначе говоря, если считать по
определению, что два центра "связаны", лишь если Гм/ > Г, то бесконечный
кластер зацепляющихся связей существует только при Г < Гс. В
рассматриваемом случае как положения центров, так, возможно, и их энергии
случайны, и мы имеем дело с топологически неупорядоченной сеткой связей.
В такой задаче не имеет точного смысла представление о координационном
числе, а общие закономерности, установленные для регулярных решеток
(касающиеся, например, инвариантности некоторых величин, см. Приложение
XI), могут оказаться
232
ГЛ. JV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
непосредственно неприменимыми. Мы вернемся к этому вопросу в следующем
параграфе.
В случае однофононных перескоков конкретный вид выражения для
определяется формулами (4.9) вместе с (3.20) и (3.22):
г _____________________________Чл/________________________ =
| "р (- ^)-> | (", (^"(- (- "
= wvs -?(7\ Ex, Ev). (8.1)
Функция ?(7\ Ei, Ei') содержит всю основную температурную зависимость
темпа переходов. Во многих задачах характерные изменения энергии при
перескоках существенно превосходят Т. Если, наряду с этим, указанные
изменения не превышают максимальной энергии фонона (это, как правило,
отвечает низким температурам), то перескоки оказываются однофононными. В
этом случае из выражения (8.1) при | Е\ - F |, | Ек - Ек\ " Т приближенно
получаем, оставляя лишь основную, экспоненциальную температурную
зависимость:
n п Ч . ( \Ек-Ек'\ + \Ег-р l + /опч
? (Т, Ei, Ei') " ехр ^------------gт-------------) ¦
Следует подчеркнуть, что выражение (8.2) для функции С (Г, Ei, Ei')
применимо не только для однофононных процессов,- нетрудно убедиться в
том, что оно сохраняет силу и для туннельных многофононных переходов,
вероятность которых определяется формулой (7.17).
С другой стороны, как видно из формулы (8.1), температурная зависимость
темпа однофононных переходов может быть и неэкспоненциальной. Так, при
|?х - Е \, |?V -/7|<С7' имеем
? (Т, Ei, Ei') " Г/(4 | Ei - Ei' |). (8.3)
При определенных условиях неэкспоненциальная зависимость темпа переходов
может привести к линейному температурному закону для прыжковой
проводимости (В. JI. Бонч-Бруевич, Р. Кайлер, 1972)*).
Функция wii' содержит квадрат матричного элемента с электронными
волновыми функциями, локализованными около точек Ra, и На/;
соответственно асимптотически при больших расстояниях между центрами
можно положить
a>u'~exp(-2у I Ra. - Rv I). (8.4)
*) Возможно, что этим объясняются экспериментальные результаты В. М.
Герщензона и др., указанные в § 1.3 (В. Л. Бонч-Бруевич, Э. О. Ману-
чарядц, 1975).
$ 8. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
233
Обычно для простоты обратный радиус локализации у считается постоянным,
не зависящим ни от энергии, ни от направления g пространстве.
Выделяя основную экспоненциальную зависимость, мы мо-жем переписать
выражение для темпа перехода в случае (8.2) в виде
Ги' ~ Ги' ехр (- т)и'). (8.5)
Здесь предэкспоненциальный множитель Г(tm), слабо зависит от энергий и
координат центров, а
I Ех ~ Е%' I + I Ек ~ F I +1 ~~ F I
%v = 2Y|R,-Rv| + ^---------- ' 1 2Г 1 ' .........' • (8.6)
Резкая экспоненциальная зависимость темпов переходов от характерных
разностей энергий и от расстояний между центрами как раз и приводит к
возможности перколяционного описания задачи о прыжковой проводимости (с
логарифмической точностью). Темпы переходов столь быстро убывают при
увеличении расстояний между центрами и при возрастании разностей их
энергий, что переходы на расстояния, заметно превышающие критические, как
и переходы между центрами с сильно различающимися энергиями, дают малый
