Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
v = vc (9.5)
в момент появления бесконечного кластера. Для случая, когда темпы
переходов не зависят от энергий (все энергии локальных состояний почти
совпадают), критерий связей (9.5) дает решение перколяционной задачи.
Заметим, однако, что в силу топологического различия пер-коляционных
задач для регулярных решеток и для системы случайных центров следует
проявлять осторожность при распространении выводов, относящихся к
регулярным решеткам, на неупорядоченный случай. Так, например,
инвариантность среднего числа связей в критической точке, zx{c\ близкого
к 1,5 для трехмерного случая, иногда служила основанием для того, чтобы
положить vc = 1,5 и для неупорядоченной системы цен-
236
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
тров. Однако, как отмечалось выше, численные расчеты для таких систем
дают для vc заметно большее значение.
Критерий связей (9.5) можно обобщить и на тот случай, когда темпы
переходов зависят не только от взаимного положения центров, но и от их
энергий. Именно, пусть два центра по-прежнему считаются связанными при
некотором Г, если Ги' > > Г. Тогда среднее число связей центра с энергией
равно
v{E% - F)= ^ e?Ru dEy& (Rx, Rxo E%, Ey). (9.6)
Гц'>Г
Здесь под знаком интеграла стоит условная вероятность попадания центра %'
в объем rfRu около точки Rv и в интервал энергий (Еу, Еу + dEy), если в
точке R* расположен центр с энергией электрона Е%. Поскольку число связей
(9.6) зависит от энергии центра, критерий (9.5) нельзя использовать
непосредственно. Его следует заменить некоторым требованием, содержащим
величину v(?\- F), как-то усредненную по энергиям, Задача состоит теперь
в установлении способа усреднения.
Используя описанные выше результаты численного расчета для трехмерной
задачи, приведенные в начале этого параграфа, удается установить точные
границы для критической величины средней плотности связей в четырехмерном
случае (И. П. Звягин, 1973).
Найдем сначала зависимость числа связей от энергии, считая, что
корреляция в положении локальных центров отсутствует, а энергии их
распределены случайно с плотностью р(Е). При этом
^(Rx, Rxs Ex, Ех') - р(Еу), (9.7)
оо
V (Е - F) = 4я J dR R2 5 dE'р (Е') 0 {ц - т) {R, Е, Е')}. (9.8)
о
Здесь т1 = 1п(Г/Г°), Г° - характерное значение предэкспоненциального
множителя в формуле (8.5), a x](R, Е, Е') - показатель экспоненты в
формуле (8.5) для темпа переходов. При IRx - Rx'| = R, Ех = Е, Еу - Е' мы
имеем согласно (8.6)
Ч (*, 2?, Е') = 2yR + \Е-Б'] + \Е-РШВ'-Р1' (g д)
Поскольку расчеты ведутся с логарифмической точностью, мы заменили
условие Ги' > Г условием r)u' < Л- Очевидно, число связей обращается
в нуль, если либо |Е - Г| > х\Т == ?тах,
либо R > г]/2у = Rmax- Таким образом, лишь центры с энер-
гиями, удаленными от F не далее, чем на Ещах, могут образовы-
§ 9*. КРИТЕРИИ СВЯЗЕЙ 237
вать связи; слой толщины 2?'таХ около F называют эффективным. Будем
считать, что плотность состояний достаточно медленно меняется в пределах
эффективного слоя: d in р (?)
dE
E=-F
<?шах- (9.10)
Тогда, подставляя (9.9) в (9.8) и вычисляя интегралы, получаем V (?) = !(
1 +4?L)9 (?(tm)ах-|?|), (9.11)
\ шах / \ шах /
где
^ = (9.12)
Замечая, что функция v(?) монотонно убывает с возрастанием Е, мы можем
найти нижнюю границу для критического значения кс, определяющего
появление бесконечного кластера связей. Именно, бесконечного кластера
заведомо нет, если критическое значение числа связей не достигнуто ни при
каких значениях Е. Таким образом, равенство
max {v (?)} = vc,
где vc - критическое число связей для трехмерной задачи, и
определяет искомый нижний предел для параметра хс. По-
скольку max{v(?)} = к/2, то
xc>2vc. (9.13)
Для отыскания верхней границы для параметра кс вычислим среднее число
связей данного центра с энергией Е со всеми центрами, энергии которых
лежат в слое | Е%' - F | < б ^ ?тах- Очевидно, это число есть
va (Ех - F) - ^ dRv dEx'P (Rv Rv. F%, Ey).
чи'<я
|?V-F|<6
Пренебрегая по-прежнему корреляцией в расположении локальных центров и
изменением плотности состояний в пределах эффективного слоя (см. (9.7),
(9.10)), мы получаем
T^-Ye^max-e-I^Dl- (9.14)
V шах max / J
Функция v6(E), как и v(E), монотонно убывает с ростом |?|; поэтому
среднее число связей любого центра из слоя |? - F | <k.
238
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
<С б с другими центрами этого слоя всегда превышает величину ve(6). Если
минимальное число связей любого центра слоя \Е - б|<б с другими центрами
этого слоя достигнет vc, то в системе заведомо будет существовать
бесконечный кластер. Таким образом, условие v6(6) = vc, будучи
выполненным при каком-нибудь б, накладывает ограничение на величину %с
сверху. Для того чтобы получить наилучшую оценку %с сверху, выберем
значение б = бь при котором функция v6(6) максимальна. С помощью
выражения (9.14) можно найти, что единственный в интервале (0, Етах)
вещественный корень уравнения
dy6 W = п
db
равен 6i = xi Дшах, где х\ " 0,21. Таким образом, условие, ограничивающее
