Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
некоторое конечное расстояние. Это означает, что здесь следует
пользоваться перколяционными соображениями для конечных объемов,
зависящих от частоты. При вычислении проводимости в переменном
электрическом поле часто пользуются парным приближением (см. § 8). В этом
приближении предполагается, что электрон за полупериод поля успевает в
среднем прыгнуть не более одного раза; в противном случае следует
принимать во внимание многократные перескоки с участием фононов.
Как уже отмечалось в § 1, локализация волновой функции означает
невозможность движения электронов по кристаллу без изменения его энергии,
что делает принципиально важным учет фононов при рассмотрении статической
прыжковой проводимости по локализованным состояниям. Ситуация, однако,
изменяется в переменном электрическом поле частоты to, когда возникает
возможность изменения энергии электронов за счет поглощения или
испускания квантов внешнего поля Йы. В этом случае возникает возможность
появления электрического тока в системе и без участия фононов;
соответственно говорят о бес-фононном вкладе в проводимость (или о
бесфононной проводимости) .
Относительная роль бесфононных переходов возрастает с ростом частоты.
Может оказаться, что бесфононные переходы становятся доминирующими на
частотах, при которых уже справедливо парное приближение. По этой причине
при рассмотрении бесфононных переходов часто бывает достаточно
ограничиться парным приближением.
В настоящем параграфе мы рассмотрим бесфононный вклад в проводимость, по-
прежнему оставаясь в рамках одноэлектронного приближения и рассматривая
материал как "жесткий"
246
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
(т. е. пренебрегая взаимодействием электронов с фононами). Последняя
аппроксимация справедлива, если речь идет о проводимости на достаточно
высоких частотах (понятие "достаточно высокие частоты" зависит от
температуры - это частоты, превышающие частоту, при которой бесфононный
вклад сравнивается с фононным вкладом, зависящим от температуры).
Бесфононные перескоки связаны с недиагональными элементами матрицы
плотности, и учет их требует'выхода за рамки рассматривавшегося выше
диагонального приближения. Линеаризованное уравнение для недиагональных
элементов неравновесной части одночастичной матрицы плотности бfu'(0 в
от_ сутствие электрон-фононного взаимодействия получается из формул
(3.4), (3.7) при Bxv = 0. Замечая, что в равновесии fu,'-nF (?*)6u',
можем привести это уравнение к виду
Ш ^ + {Ех - EV) bfxv = (А/1 Г (/) |Я) [пР (Ех) - пР (?г)]. (11.1)
Потенциальную энергию электрона в действующем поле возьмем в виде
Т (/) = Тф~ш. (11.2)
Тогда решение уравнения (11.1), удовлетворяющее начальному условию
6fu'(0U_oo = 0> (11.3)
дается выражением
оо
S/u' (0 = - j е~ш 5 dl' ехР \~h ~ Ev + йй)) X
X (А/1 Го I Я) [пР {Ех) - пР {Ev)] =
_ {У\Г0\Ц[пР(Ек)-пР(Еу)]
~~ Е% - Ек, + Йсо + is е
где малое положительное число е указывает правило обхода полюсов.
Согласно (6.2) соотношение (11.4) можно представить как соответствующее
выражение для запаздывающей двухчастичной функции Грина (0: в
отличие от § 6, нас сейчас
интересуют недиагональные ее элементы с 'Кф'к' (но при X = Ai, %' - Я1).
Именно, согласно (6.4), (11.4)
§ II. БЕСФОНОННАЯ ПРОВОДИМОСТЬ 247
Для локальной плотности тока на основании формулы (5.11) мы имеем
Rei W = - f - E№UIУ)(V in|Л) 1m ,
= -it E (* i * i ло (*' i *•<> i v -np мм x
№
X6(?x-?v + M- (11.6)
Если действующее поле считать однородным, так что Т (х) =
= е8х, то из (11.6) получается следующее выражение для
бесфононной проводимости:
Re а (со) = ^ ? | (Я | х |.V) |2 [пР (Ек) - nF (?v)] б (Ек - ?v + Лео).
и' (11.7)
При выводе формулы (11.7) мы приняли во внимание, что в макроскопически
изотропной системе результат усреднения неизбежно должен иметь вид
Re сТ(у (со) = бг/ст (со) (П.8)
и можно провести замену
(К] х,1X') {%' \х,\Х)~* 1/3Ьи| (А, | х |Я,') Р. (11.9)
Выражение (11.7) можно получить и из формулы (II. 13.5), замечая, что в
рассматриваемом случае 0 и Т°е(у', у"; у) - = б (у' - у") б (у' - у). При
этом равенства (II. 13.5) и (II.13.6) можно переписать в виде
Re oi} (со) = ~ Re / jj dx jj dy ^ dy0 el<s> yt X
' - oo
X xil (У)°с(У> X')\, (11.10)
хй-*хй J
где уже выполнено суммирование по спинам, так что спиновые переменные не
входят в аргументы функций Грина. Фигурирующие в (11.10) причинные
функции Грина удобно выразить через запаздывающие и опережающие с помощью
известных формул
оо
Gc (х> у; Щ = ~2^ \dE J (х, у; Е ) ( ?, _ ? _ /е + ?, _ ? + fe ),
- оо
(11.11)
/(х, у; Е') = у; ¦ g- Т'-~(11.12)
248
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
Здесь Gc(x, у\Е)-фурье-образ Gc по времени хо - уо, взятый на частоте
Е/%, е-*-+0; в рассматриваемой задаче функция Q, дается выражением
(1.6.9), а для Ga справедлива та же формула с заменой Е -f- ге
на Е - г'е. Отсюда с учетом соотношения
\ty\Vi 1^') - {Е% - Еу) (MxtW) (11.13)
мы вновь приходим к формуле (11.7) для проводимости.
В области сравнительно низких частот, когда
