Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
справедливость его ограничена
224
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
однофононными процессами. Естественно ожидать, что однофо-нонные процессы
будут доминировать, если характерное изменение энергии при перескоках Е
не превышает максимальной энергии фононов /штах. Так, например, обстоит
дело в компенсированных кристаллических полупроводниках, где прыжковая
проводимость осуществляется в узкой полосе энергий ("примесной зоне"). В
то же время в аморфных материалах, по-видимому, обычна обратная ситуация:
Е ^$> ftcomax. Действительно, величина Е при не слишком низких
температурах может быть весьма большой, например порядка 0,1 эВ (см.
ниже, § 10), что существенно больше максимальной энергии фононов. В этом
случае следует ожидать, что проводимость будет определяться
многофононными перескоками. При построении кинетической теории с учетом
многофононных процессов мы уже не вправе пренебрегать членами Blx, как
это делалось в § 3. Эти члены описывают, в частности, эффект поляризации
решетки электроном, находящимся в состоянии %.
В зависимости от конкретной ситуации оказывается более удобным
воспользоваться тем или иным базисом электронных локализованных функций.
Пусть характерное значение интеграла перекрытия для пары центров
достаточно велико, т. е. частота связанных с ним переходов велика по
сравнению с обратным временем перестройки атомной матрицы. Этот случай мы
будем называть адиабатическим. В качестве базиса здесь удобнее
рассматривать "коллективизированные" функции tMx), отвечающие мгновенной
конфигурации атомов, а возмущение, вызывающее переходы, описывать
оператором неадиабатичности системы, подобно тому как это делают для
безызлучательных переходов электронов на локальных центрах в кристаллах
[46].
В обратном "неадиабатическом" предельном случае, когда интеграл
перекрытия мал и частота прямых переходов мала по сравнению с частотой
многофононных перескоков, более естественно исходить из представления
атомных орбиталей фл(х). При этом возмущением служит энергия
взаимодействия электрона в состоянии фх(х) с соседними центрами, т. е.
разложение проводится формально по интегралу перекрытия. Вывод
кинетического уравнения (уравнения баланса) в этом предельном случае
можно найти в обзоре [47]; этот подход аналогичен принятому в теории
поляронов малого радиуса [48, 49]. Как показано в [47], при этом
получается уравнение вида (3.18), причем в качестве JFU, фигурирует
вероятность многофононного перехода
ОО
4V-<*p[(^-4)/2n (7-')
§ 7*. МНОГОФОНОННЫЕ ПЕРЕСКОКИ 225
V1 I В1% Р
Здесь величины Ех = Ек - ^ -~л-- представляют собой энергии
я
с учетом поляронных поправок,
=| / (А X) ? ехр (- 2ST (1 X" | ехр [ ? cos a<l j_ , j,
(7.2)
1{X, Xr) есть интеграл перекрытия (2.6), a
мя,*0 = ?-(7.3)
Я
Диагональные члены в операторе электрон-фононного взаимодействия,
выброшенные в § 3 при рассмотрении однофононных процессов, учтены здесь с
помощью канонического преобразования гамильтониана, полностью
аналогичного используемому в теории полярона малого радиуса.
В адиабатическом случае удобно ввести операторы вторичного квантования
для электронов в колеблющейся решетке Ах, Ах при помощи соотношений
ах = /С s".' (Q) А},'. (7.4)
А/
Здесь функции ?xx'(Q), параметрически зависящие от нормальных координат,
выбираются в виде
(7.6)
где 4V (х, Q) - собственные функции уравнения
{Яе+ ZBf(x)Q'}4'x(x,Q) = Ex(Q)xPx(x, Q). (7.6)
Через Не обозначена, как и в § 2, одноэлектронная часть гамильтониана.
Решения уравнения (7.6) мы будем считать известными. После перехода к
операторам Ах, Ах гамильтониан принимает вид
H='ZEx(Q)AiAx + Hph, (7.7)
А"
где операторы Ах, Ах коммутируют с Q, но не коммутируют с d/dQ. Именно,
согласно (7.4), (7.5)
["607 ' = = ? а^'
<X'(Q)*= ~ S<(x, dx=-[a^(Q)J. (7.9)
226
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
Некоммутативность операторов А% и d/dQq связана с неадиаба-тичностью
системы; оператор неадиабатичности, пропорциональный а^к, (Q), выступает
здесь в качестве малого возмущения, вызывающего переходы между
состояниями Ч^х, Q). Функции Ч\(х, Q), как и -фя.(х), мы будем считать
локализованными.
Пусть /и, (0 есть, как и раньше, одночастичная матрица плотности:
fkk' (0 = {Ак А%) = Sp р (0 At Ау,
диагональные элементы которой представляют собой средние числа заполнения
состояний Ч'аДх, Q) в колеблющейся решетке. Уравнение движения для Д ==
fxx(t) имеет вид
dfk т /ЭА + Ак д \
'1Г = 1т2,"Л"аоГао7/- (7Л0)
Я
Как следует из (7.8), (7.9),
-<ХЛ)- Р-И)
и
Далее можно поступать согласно общим рецептам вывода кинетического
уравнения. Удобно записать уравнения движения дА + Ак д
для оператора -^--------, получить явное выражение для
O^lq CfQq
этого оператора с точностью до слагаемых порядка квадрата оператора
неадиабатичности
З'кк' ~ X! ^фчакк' dQq ^
ч
и затем провести усреднение с матрицей плотности р(t). Замкнутое
уравнение для диагональных элементов одночастичной матрицы плотности
fkk,(t) получается при этом с помощью расцепления, выделяющего
