Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
нс сверху, имеет вид
Не < 2 [(1 - х,)3 (1 + Ху) - 0,5 (1 - х,)4 - 0,5 (1 - 2*,)4] - 5,8vc.
(9.15)
Если применить критерий (9.5) просто к среднему числу связей в слое ]? -
F| < Дшах, то получаем v = 6и/40 и кс ~ 6,67vc, т. е. заведомо завышенное
значение. Причина этого состоит в том, что, в соответствии со сказанным
выше, не все состояния слоя |Е - F| < Дшах эффективно принимают участие в
проводимости. Среднее число связей для центров, энергии которых лежат
вблизи границ слоя, слишком мало, и эти состояния не дают заметного
вклада в проводимость. Таким образом, реальная ширина слоя состояний,
эффективно участвующих в проводимости, оказывается заметно меньшей
величины 2Етах.
Более точную оценку величины кс сверху можно получить, рассматривая число
связей, усредненное по слою |Е - Е| <6:
в
ve=4 \dEv6(E). (9.16)
о
Примем, что бесконечный кластер появится, когда va для какого-нибудь б
достигнет vc:
maxv6 - vc. (9.17)
Максимальная средняя плотность связей достигается при б = б2, где б2 -
корень уравнения
Явный вид уравнения (9.18) нетрудно найти, используя (9.14) и (9.16). Оно
представляет собой алгебраическое уравнение пятой
§ 9*. КРИТЕРИЙ СВЯЗЕЙ
239
степени, единственный вещественный корень которого в интервале (0, Етах)
равен
62 = х2Етах, (9.19)
где х2 0,36, а соответствующее значение ve, 0,28х. Отсюда
кс =" 3,6vc. (9.20)
Как мы видели, прямое усреднение по энергетическому слою вблизи уровня
Ферми, где число связей на центр монотонно падает при возрастании |Е -
F|, приводит к переоценке роли центров, лежащих вблизи границ слоя, т. е.
к завышению получаемого значения концентрации связей. По этой причине
прямое усреднение по слою |? - К| < б в формуле (9.16) также дает
завышенное значение концентрации связей. Соответственно соотношения
(9.13) и (9.20) дают
2vc < %с < 3,6vc. (9.21)
Интерполяционную оценку критического значения хс можно получить, проводя
усреднение по эффективному слою с весовой функцией, пропорциональной
плотности состояний р(.Е') и среднему числу связей центра с энергией Е
(М. Поллак, 1972; К. Машке, X. Оверхоф, П. Томас, 1974). При этом
критерий связей принимает вид
[ dE v2 (Е) р (Е)
v = 4----------------= vc. (9.22)
\ dE v (Е) р (Е)
Непосредственное вычисление величины v с помощью (9.11) в
115
условиях (9.10) дает v=-^g%, т. е.
кс ~ 3,3vc. (9.23)
Это значение %с попадает в интервал (9.21) и близко к значению (9.20),
полученному с помощью вариационной процедуры.
Как для двумерных систем при учете энергетической зависимости темпов
переходов, так и для трехмерных систем с темпами переходов, не зависящими
от энергии, критерий связей в форме (9.22) или (9.21) хорошо согласуется
с результатами численных расчетов. Заметим все же, что подробное
обоснование критерия связей проведено лишь для систем с некоррелированным
расположением примесных центров и с постоянной плотностью состояний. Его,
однако, нередко используют и для качественного рассмотрения более общих
моделей.
Критерий связей позволяет, основываясь на значениях параметров,
полученных путем численных расчетов, представить результат использования
перколяционных соображений в относи-
240
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
тельно простом аналитическом виде. При этом оказывается возможным принять
во внимание и более тонкие эффекты, обычно не учитываемые в модельных
численных расчетах и связанные с зависимостью плотности состояний и
радиуса локализации от энергии и т. п.
§ 10. Температурная зависимость прыжковой проводимости
Использование идей теории протекания (§ 8) позволяет с логарифмической
точностью найти зависимость прыжковой проводимости системы по
локализованным состояниям от их плотности и от температуры. Именно, в
силу резкой экспоненциальной зависимости темпов переходов от разностей
энергий и координат центров проводимость системы определяется критическим
значением г]е:
0 = 0оехр(- -По)- (Ю.1)
Предэкспоненциальный множитель 0О здесь слабо (по степенному закону)
зависит от температуры и концентрации, и для его нахождения изложенных в
§§ 8, 9 соображений недостаточно.
Для определения величины г\с можно воспользоваться, например, критерием
связей (§ 9). Рассмотрим сначала задачу о прыжковой проводимости в
условиях, когда темпы переходов зависят только от расстояний между
центрами. Согласно (8.6) энергетической зависимостью темпов переходов
можно пренебречь, когда характерные разности энергий Ё оказываются
намного меньшими г\СТ. Это может иметь место, например, в случае
прыжковой проводимости по узкой примесной зоне в компенсированных
кристаллических полупроводниках. Критическое значение показателя г)
определяется в этом случае из условия (9.5), причем п - полная
концентрация центров в примесной зоне. Таким образом, концентрационная
зависимость проводимости имеет вид
0=0оехр[-у (-^г)1/3]- (Ю.2)
В этом случае проводимость меняется с температурой по акти-виационному
закону 0 ~ ехр(-ез/Т), где е3 есть энергетическое расстояние от уровня
