Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Согласно (4.6) добавка к одночастичной матрице плотности, вызванная
внешним полем, равна
6/^ = sP6P (()alak =
00
-ГхзК (/¦-Т) Sp Р(0) [а+ (т) акг (т), а+ак(-]_ =
О Х3Я14
оо
= - ? S ^ гш," - Ч М. <6-2> -00
$ 6*. МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА В ПРЫЖКОВОЙ ПРОВОДИМОСТИ 221
где
* А.АЛзА, W =Т 6 (Т) SР Р(0) К М "А, (Т)> = К"А, I ЧаА4"
(6.3)
есть обычная запаздывающая коммутаторная двухчастичная функция Грина.
Переходя к фурье-представлению с помощью соотношений типа
00
К (со) = J dt ешК (t),
- 00
мы получаем вместо (6.2)
W - - z ("о К w (в). (6.4)
А3А4
С помощью формул предыдущего параграфа можно выразить плотность тока
через двухчастичную функцию Грина. Так, вместо (5.1) мы имеем*)
/о ((r)) == -д ^ (^1 I va I h) АзаДа1АЛ>А( (")=
= ^ ? (Я) | ха IА2) ТЫаКМ4лК, (со). (6.5)
А1А2А3А4
Напомним, что, как и в (5.1), в этом выражении термодинамический
предельный переход должен быть выполнен до всех других предельных
переходов.
Наряду с формулой (6.5), можно пользоваться и другими эквивалентными
выражениями для плотности тока, которые часто оказываются более удобными
(по причинам, обсуждавшимся в предыдущем параграфе). Так, для
"диагонального" вклада в плотность тока на основании формулы (5.19) для
системы, изображенной на рис. 14, а, мы можем написать
/2>(ш) = --^ ? Гк'КмЫ,
\<s
А'
где
К%%' (со) = /'СаАА'А' ("О, У°К = У°АА.
Цепочка уравнений для двухчастичной функции Грина получается стандартным
путем:
Йсо/Саа'(со) = X B9Mh (Su, - 6U,) {ataxfif | (6.6)
K1K2QI
*) Если энергию электрона записать через векторный потенциал, то первое
из равенств (6.5) свяжет плотность тока с корреляционной функцией
скоростей.
222
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
И
{йсо + Eh - Еи + (- 1)(/) Пщ) {atax$f | аЪа^ш =
= (Ьхл' - Ьк>%') Sp +
+ X Blj4 { {aZahfli.ax^Q^ | а^а^}а -
'hi'Kifil
- {aiflkfltax^f I йк'йк^а }. (6.7)
Интересуясь лишь членами порядка g в правой части (6.7), мы можем
провести расцепление многочастичных функций, аналогичное (3.11):
** bktkfikiki&q,-*. ф?* {п (Ек:) Кк,к' + п (Екг) КкЛ'} -
- &k:)J>k3kfiq-x Ч>У {п (Ек:) КкЛ' + П (Ек3) КкЛ'} (6.8) и т. п.
Фигурирующие здесь функции <рФ определены формулой
(3.13). Величины Sp р(0)а^аАгр(Д которые того же порядка (g), что и
остальные члены в правой части (6.7), можно вычислить с требуемой
точностью непосредственно:
Sp p^atakfif "
оо
~ Т S dx Sp Ро^ ^ akl ^ Не ph s ("). (6.9)
О
где ро - матрица плотности системы невзаимодействующих электронов и
фононов, а запаздывающая функция Жкл,я опРе' деляется равенством
(6.Ю)
Функция Жк:к2Ч(со) удовлетворяет уравнению {А(r) + Ек: - Ек, 4- (- 1)(/)
Пщ) ЖЦЬ,' (со) "
- Вкгк: {фfnF (Ек) [1 - Пр (?>.,)] - ф{q~!)tlF (Ек,) [ 1 tip (?>.,)]}•
(6.11)
Подставляя (6.8), (6.9) и (6.11) в (6.7), выражая функцию
{а^ахгР^Iах'ак'У из (6.7) и подставляя ее в (6.6), находим шКкк, (со) =
_J_Vr Г s. ,А , г*л.у(">> 1
Т L i- " (E%)[\-nF (?J] пр(Ек1)[1-пЛЕъ)]\ •
м
(6.12)
§ 7*. МНОГОФОНОННЫЕ ПЕРЕСКОКИ
223
где Гм,-темп однофононных переходов, определенный равенством (4.9).
Принимая во внимание соотношение (6.4), видим, что уравнение для функции
Грина (6.12) эквивалентно линеаризованному кинетическому уравнению
(4.13), а выражение для плотности тока через двухчастичную функцию Грина
имеет вид (сравните с (5.14))
i=~~sT XI Ги'{
KS l'>S
(6.13)
Здесь
М")= -Е *V*u.(m)= - 2 TV'WH- (6.14)
к' к'
Разумеется, результаты, получаемые различными методами, эквивалентны, и
использование того или иного подхода диктуется лишь соображениями
удобства и вкуса. Отметим лишь следующее: несмотря на то, что
результирующая плотность тока пропорциональна g2, вообще говоря, нельзя,
вычисляя электропроводность по формуле Кубо, ограничиваться только
членами низшего порядка по g (Э. О. Манучарянц, И. П. Звягин, 1974). Если
использовать формальное разложение такого типа, т. е. если выполнять
предельный переход g->0 до предельного перехода со->0, то для плотности
тока получается выражение, совпадающее с формулой (6.13), в которой
отсутствуют два последних слагаемых в фигурных скобках в правой части.
Этот результат некорректен в статическом случае. Действительно, появление
указанных слагаемых связано с расходимостью формального разложения по g в
низкочастотной области. В названном разложении имеются члены,
пропорциональные g2nю-", и следует провести частичное суммирование рядов
для того, чтобы получить выражение, конечное при со->-0. Принятая выше
процедура расцепления эквивалентна такому суммированию.
Причина расходимости становится ясной при рассмотрении уравнения (6.12).
Формальное разложение по g соответствует последовательным итерациям этого
уравнения. Очевидно, этот подход не оправдан в низкочастотной области,
где необходимо пользоваться уравнением (6.12), эквивалентным задаче о
случайной сетке сопротивлений (§ 4).
§ 7*. Многофононные перескоки
Изложенный выше (в § 3) вывод кинетического уравнения был основан на
расцеплении, справедливом в низшем порядке по константе g. Соответственно
