Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
вклад, несмотря на то, что число возможных путей перескоков при этом
возрастает.
Таким образом, в применении к задаче о случайной сетке сопротивлений
перколяционный подход оказывается эффективным приближенным методом,
позволяющим избежать весьма трудоемкой процедуры прямого решения
кинетического уравнения и отыскания средних чисел заполнения центров во
внешнем поле. Разумеется, наряду с общими рассуждениями, применимость
такого подхода подтверждается и непосредственным сравнением с
результатами численного расчета. Такое сравнение было проведено для
модельной системы с числом центров порядка 103, случайно расположенных в
пространстве, с темпами переходов, экспоненциально зависящими от
расстояний между центрами и, возможно, от энергий состояний (Дж. Э. Пайк,
К. Зигер, 1974). Результат решения задачи о сопротивлении разветвленной
сетки сопротивлений совпал, с логарифмической точностью, с зависимостью
плотности тока от среднего расстояния между центрами, получаемой на
основе перколяционного подхода. В то же время численный расчет (В.
Амбегаокар, С. Кохран, Дж. Куркьярви, 1973) показал, что приближенные
теории, развиваемые без учета перколяционных соображений, дают
значительно худшее описание системы.
Следует отметить, что перколяционный подход в стандартной своей форме
дает лишь основную, экспоненциальную завися*
234
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
мость проводимости от температуры и концентрации. Действительно,
указанная выше процедура позволяет найти показатель экспоненты в формуле
(8.5) с точностью до слагаемых порядка единицы, т. е. с точностью до
предэкспоненциального множителя. Вычисление предэкспоненциального
множителя представляет собой существенно более сложную задачу. Дело в
том, что здесь мы встречаемся с трудностью, специфической для
неупорядоченных систем. Именно, точный вид предэкспоненциального
множителя в асимптотических выражениях для локализованных волновых
функций не только плохо известен (как бывает при рассмотрении глубоких
уровней в кристаллических материалах), но может быть и случайным.
§ 9*. Критерий связей
Поскольку в общем случае кинетическое уравнение не допускает
аналитического решения, сведение задачи о проводимости к соответствующей
перколяционной задаче существенно упрощает дело, если решение последней
известно. "Классические" перколяционные задачи для регулярных решеток
исследованы достаточно подробно (см. [51-53] и Приложение XI). Однако для
неупорядоченного расположения центров численных расчетов существенно
меньше. Наиболее подробно изучена следующая задача. Пусть задана
некоторая система точек А,, случайным образом разбросанных в
пространстве. Возьмем некоторую величину R и будем считать две точки
"связанными", если расстояние между ними | Rx- Rx I не превышает R.
Очевидно, число связей в системе возрастает с возрастанием концентрации
точек п, причем при некотором значении концентрации зацепляющиеся связи в
системе образуют бесконечный кластер. С другой стороны, при фиксированном
п бесконечный кластер появляется при увеличении R до некоторого значения
R - гц. Бесконечный кластер возникает, когда безразмерный параметр
становится равным хс. Численные расчеты дают для величины хс значения,
несколько различающиеся у разных авторов и лежащие в интервале между 0,29
и 0,38. Причина расхождения состоит, по-видимому, в том, что численные
расчеты выполняются для систем с ограниченным числом узлов, в то время
как величина хс по определению относится к бесконечной системе. Таким
образом, неизбежно возникает проблема выбора граничных условий и
экстраполяции результатов, полученных для ограниченных систем, на случай
бесконечно большого объема,
§ 9*. КРИТЕРИЙ СВЯЗЕЙ
235
В дальнейшем мы будем использовать значение хс = 0,347 (Дж. Куркьярви,
1974).
Если считать, как и выше, два центра связанными, когда | R?,- Rv I < R,
то среднее число связей некоторого центра системы со всеми остальными
определяется выражением
v= J Rv). (9.2)
|R*,-Rv |<R
Здесь 5s (Rv Rv)dRv есть вероятность того, что центр к' попадает в объем
rfRv около точки Rv при условии, что данный центр к находится в точке Rv
В отсутствие корреляции между положениями центров
^(RvRv) = n (9.3)
и число связей центра
v = (9.4)
в 8 раз превышает параметр (9.1). Соответственно критическое число связей
лежит в интервале 2,32 ,<; vc .<; 3,0 (принятому выше значению параметра
(9.1) отвечает vc = 2,78).
Таким образом, достижению критической плотности связей соответствует
момент появления бесконечного кластера в системе случайно расположенных
центров со связями, наличие которых определяется расстоянием между
центрами. Естественным представляется подход, в котором вычисление
прыжковой проводимости рассматривается как задача со случайными связями.
При этом критическое перколяционное значение парциального темпа переходов
можно найти с помощью так называемого критерия связей. Согласно
последнему плотность связей достигает критического значения
