Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
диагональные спаривания операторов Ах, Ах- В отличие от обычного
расцепления, такое расцепление учитывает зависимость колебательного
движения атомной матрицы от состояния электронов; оно справедливо при
малой неадиабатичности, характеризуемой оператором (7.12). Подставляя
результат в уравнение (7.10), мы приходим, с точностью до членов низшего
порядка по оператору неадиабатичности, к кинетическому уравнению (3.18),
где, однако, в роли Wkk, выступает вероятность многофононного перехода,
выражение для которой совпадает, с принятой степенью точности, " выра-
$ 7*. МНОГОФОНОННЫЕ ПЕРЕСКОКИ 227
жением для вероятности многофононного безызлучательного перехода [46]:
00
Ги,= J dt (i?u, ехр exp (- (7.13)
- 00
Здесь Hx = Hph + Ei(Q), символ <...>*, обозначает усреднение по фононной
подсистеме с гамильтонианом НPh,i = Hi - h, есть минимальное значение
адиабатического потенциала, а оператор неадиабатичности дается выражением
(7.12). Таким образом, кинетическое уравнение (3.18), описывающее баланс
электронных переходов между локализованными состояниями с участием
фононов, оказывается справедливым как для однофо-нонных, так и для
многофононных переходов, если выполнено неравенство (3.25). Конкретный
характер процесса отражается при этом только на явном выражении для
вероятности перехода (см. ниже, § 10).
Заметим, что линеаризация при наличии слабого внешнего электрического
поля проводится в случае многофононных перескоков в основном так же, как
и в § 4. В электрическом поле выражение (7.13) заменяется на
оо
Wxv= J dt (3?гхехр (iHx,t) ехр (- Ш*/)), (7.14)
- оо
где Линейное по внешнему электрическому полю
изменение вероятности перехода есть
оо
""V=' (Л- -rk)\di-i -
- ОО
= (Г^-П)~ПГ- (7.16)
Соответственно имеем
^%k'nF (/О [ 1 nF ('v)] - ^7,'7,nF (J7,') nF (^А.)] ~
= - HY- Г,) {"v [ 1 ¦(/,,)] + г(У,,) ^й.} _
-=(1Ц-П")"Ца(Д)[1(7.16)
Отсюда вытекает линеаризованное уравнение баланса, совпадающее по виду с
уравнением (4.13), однако содержащее много-
228
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
фононные темпы переходов Ги". Явное выражение для этих величин как
функций температуры легко найти, пользуясь известными результатами теории
многофононных переходов [46, 50].
В "низкотемпературном" случае, когда характерная энергия фононов
й(c)превышает Т, основную роль играют перескоки, происходящие путем
туннелирования между колебательными состояниями. Вероятность перехода с
уменьшением энергии электрона (J% < /х,) при этом стремится к постоянной
величине, а перехода с увеличением энергии (Jk > /v) оказывается
пропорциональной величине ехр[- - /А>,)/7'].
Таким образом,
Ги,~ехр[- (717)
При Г > йш выражение для вероятности переходов имеет
вид
"V ~ ехр {- ^ [ (/> ~ьа? + - 'v + Т Ай] } • <7Л8>
Здесь AQ - стоксовский сдвиг, представляющий собой один из основных
параметров теории многофононных переходов. Заметим, что мы интересуемся
здесь лишь главным, экспоненциальным множителем в вероятности переходов;
для вычисления предэкспоненциального множителя необходимы дополнительные
предположения (М. А. Кривоглаз, 1953).
§ 8. Общее обсуждение методов решения кинетического уравнения для
локализованных электронов
Для нахождения макроскопических потоков, возникающих в рассматриваемой
системе локализованных электронов под действием внешних возмущений,
необходимо решить кинетическое уравнение (3.18). Согласно сказанному в §
4, в линейном случае эта задача эквивалентна задаче о нахождении
сопротивления трехмерной разветвленной сетки случайных сопротивлений.
Поскольку число локальных центров в системе (и, следовательно,
соответствующее число узлов сетки) очень велико, решение такой задачи
наталкивается на большие вычислительные труд^ ности. В частности, как
будет видно из дальнейшего, здесь не всегда можно пренебречь далекими
корреляциями между числами заполнения центров (или эффективными
потенциалами в узлах сетки). Прямое численное решение задачи также
оказывается весьма трудоемким: каждый узел сетки в принципе связан со
всеми остальными случайными сопротивлениями, величины которых зависят от
координат и энергий центров. По этой
§ 8. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 229
причине численные расчеты пока удалось выполнить лишь для ряда простых
моделей. Все это обусловливает необходимость использования некоторых
приближенных методов, которые отражали бы главные специфические
особенности модели.
Ситуация заметно упрощается и выражения для плотности тока (5.12), (5.13)
(вместе с (4.14), (4.12)) становятся явными, если не учитывать сдвигов
химического потенциала, полагая все бF\ = 0. Ясно, что эта ситуация
реализуется, например, сразу после включения постоянного внешнего поля
при t -С т, когда числа заполнения центров еще не успели измениться.
Изменение чисел заполнения приведет к изменению парциальных потоков /и,
между центрами таким образом, что сдвиги бFi, а с ними и изменения чисел
заполнения центров примут некоторые стационарные значения, зависящие от
