Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Когда мы рассматривали выше распределение времен пробега у совокупности электронов, мы молчаливо предполагали, что либо т не зависит от энергии, либо энергии всех электронов близки по величине, так что т можно считать постоянным. Точно так же, применяя распределение (2.2) к одному электрону, мы должны считать, что полная энергия электрона существенно не меняется при его движении.
Для отдельного электрона это предположение во многих случаях справедливо. Это имеет место, если электрические поля не слишком сильны, так что энергия, приобретаемая электроном за один свободный пробег в его упорядоченном движении, мала по сравнению с энергией теплового движения, и если эта энергия не накапливается, а передается решетке при соударениях. При нахождении же среднего для всей совокупности электронов (т) нужно учитывать, что электроны в твердом теле могут иметь весьма различную энергию, и, вообще говоря, нужно считать т зависящим от энергии. Величину <т) = тр называют временем релаксации импульса. Более подробно смысл этой величины будет рассмотрен' в гл. XIII.
§ 3. Элементарная теория гальваномагнитных явлений
Тензор электропроводности в магнитном поле. Пользуясь понятием времени релаксации, можно вычислить тензор электропроводности в магнитном поле <тар, который, как мы видели, опре-
26 НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПОЛУПРОВОДНИКОВ [ГЛ. I
деляет все гальваномагнитные эффекты. Для этого мы сначала рассмотрим движение одной частицы между двумя последовательными соударениями, а затем усредним полученный результат по всем свободным пробегам. Это позволит нам найти скорость дрейфа (v), а следовательно, и плотность тока, откуда непосредственно определяются и компоненты тензора а „р.
Положим, что магнитная индукция 5з направлена вдоль оси Z прямоугольной системы координат. Тогда составляющие силы Лоренца, действующей на частйцу, равны
Fx = е$х -f eijM, Fy^e&y-^e.iS, Fz = e^,
где e—заряд частицы, ахи у—составляющие скорости по осям X и Y, Уравнения движения между последовательными соударениями имеют вид
х=-^Вх + а>сУ, У = ~&у-«>сХ, 2 = (3-!)
где через сос обозначена «циклотронная» частота:
с»с = —, (3.2)
т. е. частота равномерного вращения частицы в магнитном поле, которая не зависит от радиуса орбиты и энергии частицы.
В качестве начальных условий, как и раньше, примем:
/ = 0: x=y=z=&=y=z— 0. (3.3)
Решение последнего из уравнений (3.1) получается сразу:
* = (3-4)
Так как при выбранном направлении Si сила Лоренца лежит в пло-
скости XY, то движение вдоль Z не изменяется в магнитном поле. Решения же первых двух уравнений (3.1), удовлетворяющие граничным условиям, как нетрудно убедиться непосредственной подстановкой, имеют вид
x — a = — a cos <вс/ — b sin a>ct-\-ba>ct, y — b = — b cos co^ + ^sin ti>ct — aa>ct.
Здесь а и b — постоянные размерности длины, равные
§ 3] ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ГАЛЬВАНОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ 27
Это движение имеет простой характер. Последние слагаемые в (3.5) описывают переносное движение в плоскости XY с постоянной скоростью vt, Ее составляющие по осям равны
$у $х
Vtx = Ь(х>с =
<т'
-au>r z —
(3.7)
При этом скалярное произведение (v/g) =
= Vtx%x-\-Vty&y = Q, а следовательно, \t перпендикулярно g (и перпендикулярно 5$).
Остальные слагаемые в (3.5) описывают равномерное вращение с частотой <вс по окружности (х — a)2 -f- {у — Ь)2 = а2 + 62, центр которой расположен в точке (а, Ь). В результате сложения обоих этих движений частица движется по циклоиде, изображенной на рис. 1.7.
Умножая х, у и z на вероятность (2.2) частице иметь время свободного пробега t и интегрируя по t от 0 до со, мы получим средние перемещения х, у и 2 для одной частицы, а деля полученные средние, на т, найдем средние скорости vx, vy, v~. Учитывая, что
Рис. 1.7. Движение заряженной частицы в скрещенных электрическом и магнитном полях.
СО
(* ( t \ , dt ео,т
^ехр(-т)-8ШЮ^т = тт^’
О
со
$exp(-4)-C0S<M-Y = Т+^>
мы получаем
е а х | е га %2
Vx-~bx j +С0.Т2 + — by 1+(02х2»
vy=m$y 1+ш*т3 ~®с~т®х 1 + ш;та’
Чтобы получить дрейфовые скорости, эти значения нужно еще усреднить по всем частицам. Введем для сокращения записи следующие обозначения:
I 1 \ г ! Та \ /q
28
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПОЛУПРОВОДНИКОВ
[ГЛ. I
где (...), как и раньше, обозначает усреднение по всем частицам. Тогда для плотности тока получаем
Сравнивая эти выражения с соотношениями (1.5), находим компоненты-тензора электропроводности в виде
Если магнитного поля нет, то сос = 0 и недиагональные компоненты оар равны нулю. При этом ?х= (т) и все диагональные компоненты становятся равными. Электропроводность превращается в скалярную величину
