Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
В обратном «неадиабатическом» предельном случае, когда интеграл перекрытия мал и частота прямых переходов мала по сравнению с частотой многофононных перескоков, более естественно исходить из представления атомных орбиталей ф^(х). При этом возмущением служит энергия взаимодействия электрона в состоянии фи(х) с соседними центрами, т. е. разложение проводится формально по интегралу перекрытия. Вывод кинетического уравнения (уравнения баланса) в этом предельном случае можно найти в обзоре [47]; этот подход аналогичен принятому в теории поляронов малого радиуса [48, 49]. Как показано в [47], при этом получается уравнение вида (3.18), причем в качестве Ww фигурирует вероятность многофононного перехода
ОО
^и =“Р[&-4)/2П (7.1)
§ Т. МНОГОФОНОННЫЕ ПЕРЕСКОКИ 223
V1 lfiu|2
Здесь величины Ех = Ек — ^ — представляют собой энергии
Я
с учетом поляронных поправок,
*U'(0 =
/ (X, Г) Р ехр(- 2Sr (К, К')) | ехр [ ? cos »,/j- 1 j.
(7.2)
I(X, А') есть интеграл перекрытия (2.6), а
/ V"* i ^кк —' ^к'к' Р п
SAK V) = X-AWi- clhV- (7-3)
я
Диагональные члены в операторе электрон-фононного взаимодействия, выброшенные в § 3 при рассмотрении однофононных процессов, учтены здесь с помощью канонического преобразования гамильтониана, полностью аналогичного используемому в теории полярона малого радиуса.
В адиабатическом случае удобно ввести операторы вторичного квантования для электронов в колеблющейся решетке Ах, Ai при помощи соотношений
a*=?gu'(QMr. (7.4)
К'
Здесь функции ?u'(Q)> параметрически зависящие от нормальных координат, выбираются в виде
?u^=$^(x)4V(x,Q)<*x, (7.0)
где 4*V (х, Q) — собственные функции уравнения
|Яе+?si7(x)Qi7J^(x, Q) = ^(Q)^(x,Q). (7.6)
Через Не обозначена, как и в § 2, одноэлектронная часть гамильтониана. Решения уравнения (7.6) мы будем считать из* вестными. После перехода к операторам At, А\ гамильтониан принимает вид
Я = Z A (Q) AiAk + Я ph, (7.7)
к
где операторы коммутируют с Q, но не коммутируют с
d/dQ. Именно, согласно (7.4), (7.5)
’ Аь\ = = И ам' (^ АК' (7>8^
к’
(7.9)
226
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
Некоммутативность операторов Ак и d/dQq связана с неадиаба-тичностью системы; оператор неадиабатичности, пропорциональный ct?v (Q), выступает здесь в качестве малого возмущения, вызывающего переходы между состояниями Ч^х, Q). Функции ЧМх, Q), как и 'фя(х), мы будем считать локализованными.
Пусть fkk, (0 есть, как и раньше, одночастичная матрица плотности:
диагональные элементы которой представляют собой средние числа заполнения состояний ЧДДх, Q) в колеблющейся решетке. Уравнение движения для fk = fu,(t) имеет вид
Далее можно поступать согласно общим рецептам вывода кинетического уравнения. Удобно записать уравнения движения
этого оператора с точностью до слагаемых порядка квадрата оператора неадиабатичности
и затем провести усреднение с матрицей плотности р(0- Замкнутое уравнение для диагональных элементов одночастичной матрицы плотности fkk,{t) получается при этом с помощью расцепления, выделяющего диагональные спаривания операторов Ак, Ак. В отличие от обычного расцепления, такое расцепление учитывает зависимость колебательного движения атомной матрицы от состояния электронов; оно справедливо при малой неадиабатичности, характеризуемой оператором (7.12). Подставляя результат в уравнение (7.10), мы приходим, с точностью до членов низшего порядка по оператору неадиабатичности, к кинетическому уравнению (3.18), где, однако, в роли Wky выступает вероятность многофононного перехода, выражение для которой совпадает, с принятой степенью точности, с выра-
fkk' (0 = (Ак /4х') = Sp р (() Ак Ак',
(7.10)
ч
Как следует из (7.8), (7.9),
(7.11)
для оператора
9AjAk д
dQq dQq
получить явное выражение для
(7.12)
5 7*. МНОГОФОНОННЫЕ ПЕРЕСКОКИ
227
жением для вероятности многофононного безызлучательного перехода [46]:
оо
Ww= S Л<^и'ехР(г'Ях'0^х'хехР(-г'Ях0Х- (7ЛЗ)
— оо
Здесь Н% = #Ph + Ei(Q), символ <...)* обозначает усреднение по фононной подсистеме с гамильтонианом Нръ,к = Нк— h, Jя, есть минимальное значение адиабатического потенциала, а оператор неадиабатичности дается выражением (7.12). Таким образом, кинетическое уравнение (3.18), описывающее баланс электронных переходов между локализованными состояниями с участием фононов, оказывается справедливым как для однофо-нонных, так и для многофононных переходов, если выполнено неравенство (3.25). Конкретный характер процесса отражается при этом только на явном выражении для вероятности перехода (см. ниже, § 10).
