Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что линеаризация при наличии слабого внешнего электрического поля проводится в случае многофононных перескоков в основном так же, как и в § 4. В электрическом поле выражение (7.13) заменяется на
оо
Ww= \ dt (Su,exp (iHk,t) S?,/kexp(- iH,t))t (7.14)
— 00
где Я\ = Линейное по внешнему электрическому полю
изменение вероятности перехода есть
ОО
-= ‘ PV - Л) $ <« •' -
— ОО
“(^-’У-аТТ-- <7-ш>
Соответственно имеем
bWKK,np (7^) [1 tiP (/v)] — &WK,KnP (7V) [1 tip (/x)] =
(dWtl, dWt't )
=(»\-»V) ", ftl1 Т7Г'V ft* i —, ft)]}=
= - (Г Л-) fcv [ • ¦ft-)] + Па ft-) -
-=(Л-П-)гил,(Л)[1 -»,ft-)]- P-i6)
Отсюда вытекает линеаризованное уравнение баланса, совпадающее по виду с уравнением (4.13), однако содержащее мног<?-
228
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
фононные темпы переходов Гяя/.. Явное выражение для этих величин как функций температуры легко найти, пользуясь известными результатами теории многофононных переходов [46, 50].
В «низкотемпературном» случае, когда характерная энергия фононов На превышает Т, основную роль играют перескоки, происходящие путем туннелирования между колебательными состояниями. Вероятность перехода с уменьшением энергии электрона при этом стремится к постоянной величине, а
перехода с увеличением энергии > /я,) оказывается пропорциональной величине ехр[— — /л,)/7’].
Таким образом,
Ги, ~ ехр [- Wlb-М] , (7.17)
При Т > На выражение для вероятности переходов имеет
вид
Wu' ~ ехР 2т [ ^ % + Jx ~ Jr + Т AQ] } • (7-18)
Здесь AQ — стоксовский сдвиг, представляющий собой один из основных параметров теории многофононных переходов. Заметим, что мы интересуемся здесь лишь главным, экспоненциальным множителем в вероятности переходов; для вычисления предэкспоненциального множителя необходимы дополнительные предположения (М. А. Кривоглаз, 1953).
§ 8. Общее обсуждение методов решения кинетического уравнения для локализованных электронов
Для нахождения макроскопических потоков, возникающих в рассматриваемой системе локализованных электронов под действием внешних возмущений, необходимо решить кинетическое уравнение (3.18). Согласно сказанному в § 4, в линейном случае эта задача эквивалентна задаче о нахождении сопротивления трехмерной разветвленной сетки случайных сопротивлений. Поскольку число локальных центров в системе (и, следовательно, соответствующее число узлов сетки) очень велико, решение такой задачи наталкивается на большие вычислительные труд^ ности. В частности, как будет видно из дальнейшего, здесь не всегда можно пренебречь далекими корреляциями между числами заполнения центров (или эффективными потенциалами в узлах сетки). Прямое численное решение задачи также оказывается весьма трудоемким: каждый узел сетки в принципе связан со всеми остальными случайными сопротивлениями, величины которых зависят от координат и энергий центров. По этой
§ 8. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
229
причине численные расчеты пока удалось выполнить лишь для ряда простых моделей. Все это обусловливает необходимость использования некоторых приближенных методов, которые отражали бы главные специфические особенности модели.
Ситуация заметно упрощается и выражения для плотности тока (5.12), (5.13) (вместе с (4.14), (4.12)) становятся явными, если не учитывать сдвигов химического потенциала, полагая все бF\ = 0. Ясно, что эта ситуация реализуется, например, сразу после включения постоянного внешнего поля при t «С т, когда числа заполнения центров еще не успели измениться. Изменение чисел заполнения приведет к изменению парциальных потоков ги, между центрами таким образом, что сдвиги бFx, а с ними и изменения чисел заполнения центров примут некоторые стационарные значения, зависящие от приложенного внешнего поля. Из сказанного ясна необходимость учета в общем случае добавок бfj, в (4.12) при вычислении стационарных потоков, т. е. необходимость решения кинетического уравнения
(4.15). Пренебрежение величинами бF% в статическом случае может привести, например, к парадоксальному выводу о невозможности протекания постоянного тока по случайной сетке сопротивлений. Действительно, уравнение
ErU' (Гк-Гк') = 0,
V
вытекающее из (4.15) при б/\ = 0, допускает только тривиальное решение = 0. Этот вывод есть лишь следствие некорректного пренебрежения величинами бF^.
Пример физической ситуации, когда не происходит заметного изменения чисел заполнения состояний, дает нам случай высоких частот, когда плотность тока может быть представлена конфигурационным средним следующего вида:
= <(A-*v)2rU'><r(ffl).
