Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Следует отметить, что перколяционный подход в стандартной своей форме дает лишь основную, экспоненциальную зависим
234
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
мость проводимости от температуры и концентрации. Действительно, указанная выше процедура позволяет найти показатель экспоненты в формуле (8.5) с точностью до слагаемых порядка единицы, т. е. с точностью до предэкспоненциального множителя. Вычисление предэкспоненциального множителя представляет собой существенно более сложную задачу. Дело в том, что здесь мы встречаемся с трудностью, специфической для неупорядоченных систем. Именно, точный вид предэкспоненциального множителя в асимптотических выражениях для локализованных волновых функций не только плохо известен (как бывает при рассмотрении глубоких уровней в кристаллических материалах), но может быть и случайным.
§ 9*. Критерий связей
Поскольку в общем случае кинетическое уравнение не допускает аналитического решения, сведение задачи о проводимости к соответствующей перколяционной задаче существенно упрощает дело, если решение последней известно. «Классические» перколяционные задачи для регулярных решеток исследованы достаточно подробно (см. [51—53] и Приложение XI). Однако для неупорядоченного расположения центров численных расчетов существенно меньше. Наиболее подробно изучена следующая задача. Пусть задана некоторая система точек X, случайным образом разбросанных в пространстве. Возьмем некоторую величину R и будем считать две точки «связанными», если расстояние между ними | Ra, — Ra, | не превышает R. Очевидно, число связей в системе возрастает с возрастанием концентрации точек п, причем при некотором значении концентрации зацепляющиеся связи в системе образуют бесконечный кластер. С другой стороны, при фиксированном п бесконечный кластер появляется при увеличении R до некоторого значения R — гц. Бесконечный кластер возникает, когда безразмерный параметр
становится равным хс. Численные расчеты дают для величины хс значения, несколько различающиеся у разных авторов и лежащие в интервале между 0,29 и 0,38. Причина расхождения состоит, по-видимому, в том, что численные расчеты выполняются для систем с ограниченным числом узлов, в то время как величина хс по определению относится к бесконечной системе. Таким образом, неизбежно возникает проблема выбора граничных условий и экстраполяции результатов, полученных для ограниченных систем, на случай бесконечно большого объема,
(9.1)
§ 9*. КРИТЕРИЙ СВЯЗЕЙ
235
В дальнейшем мы будем использовать значение хс = 0,347 (Дж. Куркьярви, 1974).
Если считать, как и выше, два центра связанными, когда I Ra, — Ra/ I < R, то среднее число связей некоторого центра системы со всеми остальными определяется выражением
v = ^ dRv^RA, Rv). (9.2)
|Ra-Rv |<R
Здесь ^(Ra., Ra/MRa/ есть вероятность того, что центр V попадает в объем rfRv около точки Rv при условии, что данный центр X находится в точке Ra,. В отсутствие корреляции между положениями центров
& (Ra,, Ra/) = п (9.3)
и число связей центра
v = ^-R3n (9.4)
в 8 раз превышает параметр (9.1). Соответственно критическое число связей лежит в интервале 2,32 <; vc <; 3,0 (принятому выше значению параметра (9.1) отвечает vc = 2,78).
Таким образом, достижению критической плотности связей соответствует момент появления бесконечного кластера в системе случайно расположенных центров со связями, наличие которых определяется расстоянием между центрами. Естественным представляется подход, в котором вычисление прыжковой проводимости рассматривается как задача со случайными связями. При этом критическое перколяционное значение парциального темпа переходов можно найти с помощью так называемого критерия связей. Согласно последнему плотность связей достигает критического значения
v = vc (9.5)
в момент появления бесконечного кластера. Для случая, когда темпы переходов не зависят от энергий (все энергии локальных состояний почти совпадают), критерий связей (9.5) дает решение перколяционной задачи.
Заметим, однако, что в силу топологического различия пер-коляционных задач для регулярных решеток и для системы случайных центров следует проявлять осторожность при распространении выводов, относящихся к регулярным решеткам, на неупорядоченный случай. Так, например, инвариантность среднего числа связей в критической точке, zx{c\ близкого к 1,5 для трехмерного случая, иногда служила основанием для того, чтобы положить vc = 1,5 и для неупорядоченной системы цен-
236
ГЛ.IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
тров. Однако, как отмечалось выше, численные расчеты для таких систем дают для vc заметно большее значение.
Критерий связей (9.5) можно обобщить и на тот случай, когда темпы переходов зависят не только от взаимного положения центров, но и от их энергий. Именно, пусть два центра по-прежнему считаются связанными при некотором Г, если Ги' > > Г. Тогда среднее число связей центра с энергией Еi равно
