Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
№ ge ?2
Волее гибким, однако, оказывается парное приближение, когда ток представляется в виде суммы вкладов парциальных токов от отдельных пар центров локализации. Дело в том, что в указанном приближении могут учитываться и возможные изменения чисел заполнения центров пары.
Парное приближение с успехом было использовано для вычисления частотной зависимости плотности тока в области не слишком низких частот (М. Поллак, Т. М. Джебел, 1961); соответствующая частотная зависимость близка к экспериментально наблюдаемому закону cos, s ~ 0,8 (см. § 1.3). Ясно, однако, что
230
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
при фиксированной плотности центров в области очень низких частот парное приближение становится неприменимым. Действительно, если за полупериод поля электрон в среднем успевает прыгнуть несколько раз, парного приближения недостаточно. В частности, парное приближение неприменимо в статическом случае.
В стационарном случае сопротивление системы (или эквивалентной ей сетке случайных сопротивлений) определяется полной вероятностью того, что электрон пройдет через всю систему. Названная вероятность, в силу сказанного выше, не сводится к усредненным индивидуальным вероятностям перескоков, а определяется глобальными характеристиками образца. Действительно, электроны будут пересекать систему в направлении приложенного поля, выбирая оптимальные пути, отвечающие максимальной вероятности прохождения через всю систему. Такие пути, вообще говоря, не состоят из последовательности перескоков, каждый из которых происходит с данного центра X на соседний X', для которого темп переходов Ги' максимален. Дело в том, что эти «соблазнительные» цепочки перескоков фактически не эффективны: они, как правило, заканчиваются «мертвыми концами» («тупиками»), т. е. электрон в конце концов попадает на центр, вероятность ухода с которого очень мала. В связи с этим было предложено использовать другой подход, основанный на теории протекания, или перколяции (В. Амбегаокар, Б. И. Гальперин, Дж. С. Лэнджер, 1971; Б. И. Шкловский, А. Л. Эфрос, 1971; М. Поллак, 1972)*). Краткая сводка основных результатов теории протекания приведена в Приложении XI.
Задачу о прыжковой проводимости можно непосредственно свести к перколяционной задаче связей, рассмотренной в Приложении XI, если система центров топологически упорядочена (Дж. М. Займан, 1968). Роль беспорядка сводится при этом к случайному изменению темпов переходов между центрами, например, при изменении расстояния R между ними. Часто темпы переходов очень резко (экспоненциально) зависят от R и изменяются в очень широких пределах. При этом проводимость системы можно оценить с помощью следующего приема. Будем
*) Название «теория протекания» (теория перколяции) происходит от английского термина «percolation theory» (буквальный перевод: percolation — просачивание). Термин «протекание» довольно точно отражает существо дела в ряде случаев, в частности, когда задачу можно непосредственно свести к классической задаче о течении жидкости по местности со случайным рельефом. В случае прыжковой проводимости по локализованным состояниям мы уже не имеем столь наглядной картины: движение происходит по дискретному набору точек пространства, и, сверх того, может добавляться четвертая — энергетическая — координата. Оба термина «протекание» и «перколчция» используются в литературе на русском языке на равных правац.
§ 8. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
231
считать соседние центры «связанными», если Гш больше некоторого значения Г; соответственно связь между соседними центрами отсутствует, если Ги- < Г. Вероятность х существования связи между соседними центрами определяется в этом случае вероятностью того, что темп перехода Ги' превосходит Г; очевидно, х = .х(Г). При таком определении мы приходим к перко-ляционной задаче связей. Задача эта состоит в отыскании критического значения доли неразорванных связей лг^ЧГ), ПРИ котором еще существует бесконечный кластер зацепляющихся связей, так что электрон может пересечь всю систему по связям (т. е. путем переходов с Ги' > Г). Критические значения х^ для различных двумерных и трехмерных решеток хорошо известны (см. Приложение XI), они удовлетворяют приближенному соотношению zx^ & d/(d — I), где d — размерность про-
(Ь)
странства, z— координационное число, a zxc есть среднее число неразорванных связей, сходящихся в данном узле. Зная х(%\ можно найти и критическое значение Гс, отвечающее моменту появления бесконечного кластера связей. Это значение и определяет характерную величину проводимости системы. Действительно, переходы с Гм С Гс мало сказываются на общей проводимости, а переходы с Ги' Гс не играют существенной роли, ибо, как уже говорилось, электрон не может пройти через всю систему только путем таких перескоков. Это непосредственно подтверждается результатами численных расчетов, выполненных для модели регулярной кубической сетки с экспоненциальным разбросом темпов перескоков между соседними узлами.
