Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Для случая сильно локализованных электронов перколяцион-ные соображения приводят к несколько иной модели [51], отличающейся Топологически от стандартных перколяционных задач для регулярных решеток. Именно, будем считать, что темпы переходов Ги' случайны и меняются в широких пределах. Будем по очереди разрывать «связи» между центрами, полагая соответствующие l\v = 0, начиная от минимального. Тогда при некотором значении Ги' —Гс электрон уже не сможет пересечь всю систему и проводимость точно обратится в нуль. Иначе говоря, если считать по определению, что два центра «связаны», лишь если Ги' > Г, то бесконечный кластер зацепляющихся связей Существует только при Г <С Гс. В рассматриваемом случае как положения центров, так, возможно, и их энергии случайны, и мы имеем дело с топологически неупорядоченной сеткой связей. В такой задаче не имеет точного смысла представление о координационном числе, а общие закономерности, установленные для регулярных решеток (касающиеся, например, инвариантности некоторых величин, см. Приложение XI), могут оказаться
232
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
непосредственно неприменимыми. Мы вернемся к этому вопросу в следующем параграфе.
В случае однофононных перескоков конкретный вид выражения для I\v определяется формулами (4.9) вместе с (3.20) и (3.22):
г ____________________________________________________=
W К- |(е„(^)+,)(„р(-^)+,)-
= wwt(T, ЕК, Еу). (8.1)
Функция g (Г, Е\, Ех) содержит всю основную температурную зависимость темпа переходов. Во многих задачах характерные изменения энергии при перескоках существенно превосходят Т. Если, наряду с этим, указанные изменения не превышают максимальной энергии фонона (это, как правило, отвечает низким температурам), то перескоки оказываются однофононными. В этом случае из выражения (8.1) при \E% — F |, | Е\— Еу\ Т приближенно получаем, оставляя лишь основную, экспоненциальную температурную зависимость:
?(7\ Ей Еу) ~ ехр (- 1 ^ ~ Е%'1 + 1 Е%~ F 1 + 1 ^). (8.2)
Следует подчеркнуть, что выражение (8.2) для функции С (Г, Ех, Е\>) применимо не только для однофононных процессов,— нетрудно убедиться в том, что оно сохраняет силу и для туннельных многофононных переходов, вероятность которых определяется формулой (7.17).
С другой стороны, как видно из формулы (8.1), температурная зависимость темпа однофононных переходов может быть и неэкспоненциальной. Так, при \Ех — F \, | Еу — F |'СГ имеем
С(7\ Ех, Еу) « Т/(4\Ек-Еу\). (8.3)
При определенных условиях неэкспоненциальная зависимость темпа переходов может привести к линейному температурному закону для прыжковой проводимости (В. JI. Бонч-Бруевич, Р. Кайл ер, 1972)*).
Функция ww содержит квадрат матричного элемента с электронными волновыми функциями, локализованными около точек R* и Rr; соответственно асимптотически при больших расстояниях между центрами можно положить
ши'~ехр(—2\ [Ra. —Rrl). (8.4)
*) Возможно, что этим объясняются экспериментальные результаты 5. М- Герщензона и др., указанные в § 1.3 (В. Я. Бонч-Бруевич, Э. О. Ману* чаряцц, 1975). .........
$ 8. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
233
Обычно для простоты обратный радиус локализации у считается постоянным, не зависящим ни от энергии, ни от направления в пространстве.
Выделяя основную экспоненциальную зависимость, мы мо-жем переписать выражение для темпа перехода в случае (8.2) в виде
Ги' — Ги' ехр (— чи')- (8.5)
Здесь предэкспоненциальный множитель Г!™, слабо зависит от энергий и координат центров, а
I Ек — Ек, I + I Е, — F I + I Ек, — F I
= + —' 1 2Г 1 1 Я...... (8.6)
Резкая экспоненциальная зависимость темпов переходов от характерных разностей энергий и от расстояний между центрами как раз и приводит к возможности перколяционного описания задачи о прыжковой проводимости (с логарифмической точностью). Темпы переходов столь быстро убывают при увеличении расстояний между центрами и при возрастании разностей их энергий, что переходы на расстояния, заметно превышающие критические, как и переходы между центрами с сильно различающимися энергиями, дают малый вклад, несмотря на то, что число возможных путей перескоков при этом возрастает.
Таким образом, в применении к задаче о случайной сетке сопротивлений перколяционный подход оказывается эффективным приближенным методом, позволяющим избежать весьма трудоемкой процедуры прямого решения кинетического уравнения и отыскания средних чисел заполнения центров во внешнем поле. Разумеется, наряду с общими рассуждениями, применимость такого подхода подтверждается и непосредственным сравнением с результатами численного расчета. Такое сравнение было проведено для модельной системы с числом центров порядка IО3, случайно расположенных в пространстве, с темпами переходов, экспоненциально зависящими от расстояний между центрами и, возможно, от энергий состояний (Дж. Э. Пайк, К. Зигер, 1974). Результат решения задачи о сопротивлении разветвленной сетки сопротивлений совпал, с логарифмической точностью, с зависимостью плотности тока от среднего расстояния между центрами, получаемой на основе перколяционного подхода. В то же время численный расчет (В. Амбегаокар, С. Кохран, Дж. Куркьярви, 1973) показал, что приближенные теории, развиваемые без учета перколяционных соображений, дают значительно худшее описание системы.
