Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь
*) См. § 19 и § 1.3.
§ 10*. ОЦЕНКА КОНЦЕНТРАЦИИ ФЛУКТУАЦИОННЫХ УРОВНЕЙ Ю9
ваемого типа в ЭПР не проявляются, соответственно чему эта методика дает заниженное значение для полной концентрации уровней.
Образование дискретных уровней — не единственный результат, к которому может привести наличие флуктуационных потенциальных ям. Действительно, из квантовой механики хорошо известно, что, помимо связанных состояний, в поле притяжения могут возникнуть резонансные и виртуальные уровни. Последние проявляются в усиленном рассеянии свободных носителей заряда. Аналогичную роль играют и мелкие уровни, отвечающие связанным состояниям, «поджатым» к границе непрерывного спектра.
Влияние виртуальных и резонансных уровней на явления переноса с участием делокализованных электронов и дырок и на оптические свойства кристаллических полупроводников исследовалось многими авторами (впервые, по-видимому, А. И. Ансельмом, 1953). Полупроводники со случайным полем обладают в этом отношении двумя особенностями. Во-первых, в данном случае для возникновения виртуальных и резонансных уровней не требуется каких-либо особых причин (вроде особенностей закона дисперсии)—может быть достаточно лишь пространственных флуктуаций потенциальной энергии электрона в случайном поле (М. Коэн, 1970). Во-вторых, следует ожидать, что распределение виртуальных (как и дискретных) уровней по энергии будет плотным. Наличие виртуальных уровней может сказаться, например, на явлениях переноса. Так, в компенсированных полупроводниках, содержащих такие уровни, подвижность свободных носителей заряда может оказаться пропорциональной Тх/2 (В. JI. Бонч-Бруевич, 1972).
§ 10*. Оценка концентрации флуктуационных уровней
Теорема § 9 сама по себе еще не дает никаких сведений о концентрации флуктуационных уровней или об их распределении по энергии: она лишь устанавливает условия, при которых названные уровни заведомо существуют. Расчет плотности состояний требует, видимо, тех или иных предположений модельного характера *). Однако порядковую оценку верхнего предела полной концентрации флуктуационных уровней можно получить довольно простым путем. Действительно, естественно ожидать, что наиболее мелкие уровни, созданные потенциальными ямами не слишком малого размера, можно описывать квазиклассически. Выражение для общего числа одноэлектронных уровней
vi в данном поле U(г) хорошо известно из квантовой механики.
*) Мы вернемся к этой задаче в гл. III.
110 гл II СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
Принимая вспомогательный закон дисперсии (9.2), мы имеем ([19], § 48)
v> = -w-Srfr[-t/^2- (10Л)
причем интегрирование ведется лишь по той области, где ?/(г)<0. В применении к нашей задаче надо лишь усреднить выражение (10.1) по случайному полю. Для этой цели удобно явно выразить условие U (г) <; 0, введя под знак интеграла
ступенчатую функцию 0[—U (г)]. -с Тогда (с учетом (7.50'))
агдП)-*r <v‘> = -w4rfrSi’ (1°-2)
argl-t)=ff где
Рис. 5. Контур интегрирования ¦«и J s — е
в формуле (10.4). ^
Для вычисления фигурирующего здесь среднего значения удобно воспользоваться известным интегральным представлением гамма-функции Эйлера [32]:
тЬт=М1--1Ге~‘‘“¦ <1о-4>
L
Интеграл берется здесь по контуру, изображенному на рис. 5. Совершая в (10.4) очевидную замену переменных t->—^(г) (при ?/(г)<0), мы получаем
[- U (г)]3/2 = Г (5/2) J (- tfw etu (r) dt (10.5)
L
к, следовательно,
= \ -Brt\(-nXA(z-e«’)dt, (10.6)
-oo I,
где A (z • e‘kr) есть характеристический функционал (7.8) при г = s + iU I = e‘kr.
В макроскопически однородной системе этот функционал фактически не зависит от координат. Следовательно, интеграл по г в формуле (10.2) будет равен просто объему системы Q: как и следовало ожидать, полное число флуктуационных уров-
§ 10*. ОЦЕНКА КОНЦЕНТРАЦИИ ФЛУКТУАЦИОННЫХ УРОВНЕЙ 111
ней оказывается пропорциональным Q, что и позволяет ввести представление о полной (при всех энергиях) их концентрации <vi>/G.
Положим
ОО
A (s • е‘кг) = A (s) = ^ eivsA(v)dv. (Ю.7)
— оо
Очевидно, A (v) есть вероятность того, что U (г) = v. Получим
оо
?=-w!Iv1,!-4M',v- о о-в)
о
В частности, в гауссовом поле формула (7.20) дает
с2’|’- N ¦ exp (— v2/2i|)i)
ЛИ = ехр(-^), (10.9)
(V;) Г (5/4) m3/2^/42l
и, следовательно,
„3/2,,,3/491/4
