Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(9. Ф)
вая функция имеет известный из квантовой механики асимптотический вид:
\1)~ехр(— г). (11.1)
При этом, очевидно,
Y-1 = h/^2mE. (11.2)
При уменьшении энергии ионизации, во-первых, в соответствии с (11.2), растет радиус локализации и, во-вторых, возра-
114 ГЛ. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
стает вероятность возникновения соответствующих флуктуаций потенциальной энергии, т. е. уменьшается среднее расстояние между ямами сравнимой глубины. В силу обеих этих причин размеры асимптотической области сужаются, и при достаточно малых значениях В она исчезает вовсе. Формулы (11.1) и (11.2) при этом уже не имеют места, и, более того, лишается смысла сама постановка задачи о поведении волновой функции вдали от центра данной потенциальной ямы. Действительно, в рассматриваемых условиях слова «далеко от данной ямы» означают вместе с тем и «близко к другой, почти такой же». Мы
Рис. 6. К асимптотике волновых функций дискретного спектра. В части пространства, обозначенной как «асимптотическая область», справедливо выражение (11.1).
можем, однако, сохранить представление о радиусе локализации у-1 как о характерном линейном размере области пространства, в пределах которой в основном сосредоточена волновая функция. Точное определение слов «характерный линейный размер» для наших целей несущественно (это может быть, например, квантовомеханическое среднее значение расстояния между электроном и центром локализации). Физический интерес здесь представляет вид функции у (Е) для существенных конфигураций случайного поля. Рассматривая гауссово случайное поле с бинарной функцией корреляции (7.37в), можно угадать ответ при Е0 с помощью соображений размерности. Надо лишь принять во внимание, что в него должна войти статистическая характеристика поля — величина Ф0. Действительно, мы имеем здесь два независимых параметра размерности длины: Yf1 =
—Н1л/2тЕ и у%1 = Ф1013Е~213. Следовательно, можем написать
у-'(Е) = у^(уМ, (11.3)
где / — некоторая непрерывная функция. По физическим соображениям величина Ф0 должна входить в у-1 в неотрицательной степени. Для этого достаточно, чтобы функция / имела конечный предел при стремлении ее аргумента к нулю. Оценка сверху для
§ 11. РАДИУС ЛОКАЛИЗАЦИИ. СТЕПЕННАЯ ЛОКАЛИЗАЦИЯ
115
радиуса локализации получится, если обеспечить наиболее быстрое его возрастание при ? —>0. Поскольку при этом Y2/Vi —0, следует положить /(0)^=0. Таким образом, при ?->0
Y-1 (В)-* const Фо/3Е~2/3. (11.4)
Этот результат был указан К. Фридом (1972) и Р. А. Абрамом и С. Ф. Эдвардсом (1972). Провести аналогичное рассуждение, заменив в (11.3) у2-1 на Yf'> невозможно, ибо в ответ не вошла бы величина Фо.
Известный интерес представляет задача об асимптотике волновых функций неслучайных (в смысле § 2) дефектов структуры. Для достаточно глубоких уровней, разумеется, справедливо выражение (11.1). Однако есть случай (В. Л. Бонч-Бруевич, 1976), когда вместо экспоненциальной асимптотики оказывается справедливым выражение вида
¦ф ~ г~пх(в, ф). (11.5)
Здесь п — число (такое, чтобы функция (11.5) удовлетворяла условиям нормировки), % — произвольная квадратично интегрируемая функция полярных углов 0, ф. При этом говорят о степенной локализации*).
Асимптотика вида (11.5) имеет место, если потенциальная энергия в уравнении Шредингера на больших расстояниях от центра локализации имеет вид (мы пользуемся обозначением v, дабы избежать смешения со случайной функцией U{г))
(11.6)
Здесь с(0, ф) — произвольная регулярная функция, удовлетворяющая лишь указанному ниже ограничению.
В справедливости сказанного легко убедиться непосредственной проверкой: надо лишь подставить выражения (11.5) и (11.6) в уравнение Шредингера (9.3) (с заменой U на у). При этом число п неявно выражается через функцию с(0, ф), что и ограничивает ее условием нормируемости волновой функции (11.5).
В частности, выражение (11.6) может описывать потенциальную энергию электрона в поле электрического диполя или в поле упругих напряжений, создаваемых точечным дефектом структуры.
*) Сама возможность степенной локализации решений уравнения Шредингера хорошо известна [33, 34]. Из формул (11.5) и (11.6) вытекает, однако, что она более реалистична, чем можно было бы подумать. Некоторые результаты, видимо, указывающие на возможность степенной локализации электронов в неупорядоченных полупроводниках, были численным методом получены В. Дж. Ластом и Д. Дж. Таулесом (1974).
116 ГЛ. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
Энергия ионизации состояния с асимптотикой (11.5) оказывается равной нулю. Очевидно, такая ситуация неустойчива: сколь угодно близко от данного уровня располагаются делока-лизованные состояния в зоне проводимости (или валентной). Естественно ожидать, что это вырождение снимается каким-либо возмущением, неизбежно присутствующим во всякой реальной системе. В неупорядоченных полупроводниках роль такого возмущения может играть случайное поле. В результате его действия уровень либо превращается в резонансный, либо сдвигается ниже, в область дискретного спектра. В последнем случае асимптотика (11.5) сменяется более быстрым убыванием г|з с ростом г\ однако в не слишком сильном поле это происходит лишь на очень больших расстояниях от центра локализации, а в физически интересной области остается в силе выражение
